線性時不變系統理論

線性非時變系統理論俗稱LTI系統理論，源自套用數學，直接在核磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統對任意輸入信號的回響。雖然這些系統的軌跡通常會隨時間變化（例如聲學波形）來測量和跟蹤，但是套用到圖像處理和場論時，LTI系統在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統也被稱為線性時不變平移，在最一般的範圍理論給出此理論。在離散（即採樣）系統中對應的術語是線性時不變平移系統。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個很好的例子。

基本介紹

• 中文名：線性時不變系統理論
• 外文名：LTI system theory
• 領域：數位訊號處理
• 別名：LTI系統理論
• 內容：線性、非時變系統對信號的回響
• 作用：測量和跟蹤

簡介

線性非時變系統必須同時滿足線性和非時變性：

線性，指系統的輸入和輸出之間的關係是一個線性映射：如果輸入產生回響，而輸入 產生回響，那么放縮和加和輸入 產生放縮、加和的回響，其中和 為實標量。此性質可以拓展到任意項，於是對於實數 ，輸入

產生輸出

特別地，輸入

產生輸出

其中，和是標量，而輸入在序號為 的連續統內變化。因此，如果輸入函式可以由一個連續統的輸入函式像上面展示的那樣，“線性”組合而成，則對應的輸出函式，可以通過相應連續統的輸出函式以相同的方式縮放和求和得到。

時不變性，指如果將系統的輸入信號延遲 秒，那么得到的輸出除了這秒延時以外是完全相同的，稱這樣的系統是“時不變”的。即若系統輸入，對應的輸出為 ，則輸入為 時系統的輸出為。

LTI系統的理論的基本結論是任何LTI系統都可以完全用一個單一方程來表示，稱為系統的衝激回響。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的衝激回響的卷積。這種分析方法通常稱為時域觀點。相同的結果對於離散時間線性移位不變系統也成立，其中信號為離散時間取樣信號，並且卷積對序列定義。

同理，任何LTI系統的特徵可由頻域的系統傳遞函式刻畫，它是系統衝激回響的拉普拉斯變換（在離散時間系統的情況下為Z變換）。由於這些變換的性質，該系統在頻域的輸出是傳遞函式與輸入的變換的乘積。換句話說，時域中的卷積相當於頻域中的乘法。

對於所有的LTI系統中，本徵函式和所用變換的基函式，是復指數函式。這即是說，如果一個系統的輸入是復波形 ，復振幅為 ，復頻率為，輸出將是輸入的復常數倍，表示為新復振幅 的式子 。比值 是頻率 的傳遞函式。

因為是正弦的復指數與復共軛頻率的總和，如果輸入到該系統是一個正弦波，則系統的輸出也將是一個正弦波，或許具有不同振幅和不同相位的，但總是與相同的頻率在達到穩定狀態。LTI系統不能產生頻率成分中沒有的輸入。

LTI系統理論善於描述了許多重要的系統。至少相對於時間變化的和/或非線性的情況下最LTI系統被認為是“容易”來分析。任何可以被模擬為常係數線性齊次微分方程系統是LTI系統。這類系統的實例是電路由電阻器S，電感s和電容器S（RLC電路）的。理想的彈簧 - 質量 - 阻尼系統也是LTI系統，並且在數學上是等效的RLC電路。

最LTI系統概念都是連續時間和離散時間（線性移位不變）的情況下相似。在圖像處理中，時間變數被替換為2空間變數，時間不變性的概念被替換為二維移不變性。當分析濾波器組s和MIMO系統中，常常是有用考慮的信號矢量。

線性系統不是時不變可以用其他方法來解決，如格林函式方法。同樣的方法時，必須使用問題的初始條件是不為空。

重要的系統特性

因果性和穩定性是描述系統的兩個重要性質。如果獨立變數是時間，那么因果性是必須的，但並不是所有系統的獨立變數都是時間。例如，一個處理靜止圖像的系統不需要具備因果性。非因果系統可以建立，並可以在許多情況下發揮作用。即使是非實數系統也可以構建，並且在很多場合也是非常有用的。

因果性

如果系統輸出只與當前以及過去的輸入有關，那么該系統就是因果系統。因果性的充分必要條件是

其中 是衝激回響。由於拉普拉斯變換的逆變換不確定，所以通常不能根據拉普拉斯變換確定系統的因果性。只有在確定了系統的收斂域之後才能確定該系統的因果性。

穩定性

如果系統對每個有界輸入來說輸出都是有界的，那么系統就是有界輸入有界輸出穩定的（BIBO穩定），用數學方法表示就是如果每個輸入滿足

就會導致輸出滿足

（也就是說的最大絕對值是有界的意味著 的最大絕對值也是有界的），那么系統就是穩定的。系統穩定的充分必要條件是衝激回響是在L1中（其L1範數有限）的：

在頻域中，收斂域必須包含虛軸 。

作為一個例子，衝激回響等於Sinc函式的理想低通濾波器不是BIBO穩定的，因為Sinc函式不具有有限的L1範數。因此，對於一些有界輸入，理想低通濾波器的輸出是無界的。特別地，若對的輸入為零，並且在 時等於正弦信號的截止頻率，則在非過零時刻輸出是無界的。

衝激回響

在信號處理中，衝激回響（Impulse response）一般是指系統在輸入為單位衝激函式時的輸出（回響）。對於連續時間系統來說，衝激回響一般用函式 來表示，相對應的輸入信號，也就是單位衝激函式滿足狄拉克δ函式的形式，其函式定義如下：

並且，在從負無窮到正無窮區間內積分為1：

在輸入為狄拉克δ函式時，系統的衝激回響包含了系統的所有信息。所以對於任意輸入信號 ，可以用連續域卷積的方法得出所對應的輸出 。也就是：

對於離散時間系統來說，衝激回響一般用序列來表示，相對應的離散輸入信號，也就是單位脈衝函式滿足克羅內克δ的形式，在信號與系統科學中可以定義函式如下：

同樣道理，在輸入為時，離散系統的衝激回響包含了系統的所有信息。所以對於任意輸入信號 ，可以用離散域卷積（求和）的方法得出所對應的輸出信號 。也就是：