第三類貝塞爾函式

第三類貝塞爾函式(Bessel function of the third kind)亦稱漢克爾函式，貝塞爾方程的線性無關解，可以表示為第一類和第二類貝塞爾函式的線性組合，它們在除去負實軸 (-∞，0) 的z平面上單值解析。第三類貝塞爾函式包含兩種函式。

基本介紹

• 中文名：第三類貝塞爾函式
• 外文名：Bessel function of the third kind
• 別稱：漢克爾函式
• 定義：貝塞爾方程的線性無關解
• 一級學科：數學
• 二級學科：特殊函式

歷史

貝塞爾函式的幾個正整數階特例早在18世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當時引起了數學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數學大師對貝塞爾函式的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數學家貝塞爾在研究克卜勒提出的三體引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝塞爾函式的總體理論框架，後人以他的名字來命名了這種函式。

現實背景和套用範圍

貝塞爾方程是在圓柱坐標或球坐標下使用分離變數法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α =n；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α =n+½），因此貝塞爾函式在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

（1）在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；

（2）圓柱體中的熱傳導問題；

（3）圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題；

在其他一些領域，貝塞爾函式也相當有用。譬如在信號處理中的調頻合成（FM synthesis）或凱澤窗（Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函式。

第三類貝塞爾函式

貝塞爾方程是一個二階常微分方程

第三類貝塞爾函式

必然存在兩個線性無關的解。針對各種具體情況，人們提出了表示這些解的不同形式。

第三類貝塞爾函式（Bessel function of the third kind），又稱漢克爾函式（Hankel function）。

貝塞爾方程的另外一對重要的線性無關解稱為漢克爾函式（Hankel functions） 和 ，它們分別稱為第一種和第二種第三類貝塞爾函式，或第一類和第二類漢克爾函式。分別定義為：

其中 i 為虛數單位 。以上的線性組合也成為第三類貝塞爾函式；它們描述了二維波動方程的內行柱面波解和外行柱面波解（"行"與在"行動"中同音）。

利用第一類貝塞爾函式與第二類貝塞爾函式的關係

可將漢克爾函式表示成：

若 α 為整數，則須對等號右邊取極限值。另外，無論 α 是不是整數，下面的關係都成立：