積分幾何學

積分幾何學是通過各種積分考察圖形性質的一門學科，本質上屬於整體微分幾何範疇。積分幾何的研究從歐氏平面和三維歐氏空間開始，逐步拓廣到高維歐氏和非歐空間，然後概括到滿足一定條件的齊性空間。

基本介紹

• 中文名：積分幾何學
• 對象：積分考察圖
• 屬性：幾何範疇
• 對應：歐氏平面

簡介

積分幾何學是通過積分研究圖形性質的一門學科。本質上屬於整體微分幾何的範疇。它起源於幾何機率的研究，其發展也始終與幾何機率相聯繫。積分幾何的研究從二維歐幾里得平面、三維歐幾里得空間開始，逐步拓廣到高維歐幾里得空間和非歐幾里得空間，然後概括為滿足一定條件的齊性空間。積分幾何的基本概念就是對於某種幾何元素集定義一種在某種變換群作用下不變的密度和測度。該不變密度的不同表達式往往是導出重要結論的基礎。

基本信息

以二維歐幾里得平面 為例，設(x,y) 是平面上點P 的直角坐標，則在運動群作用下不變的點密度是 。設 表示 上的直線，它的方程是 ，其中 是坐標原點到直線的距離， 是從原點 O 到直線的垂線與橫坐標軸所成的有向角 則直線的密度是 。若它與平面上長度為 L 的曲線 C 的交點數為 則有著名的克羅夫頓公式(Crofton formula)

在 E²上，設圖形 F 在作剛體運動，在 F 上固聯一個正交標架R。假設對於平面上一個固定的正交標架R₀而言，R的原點坐標為(x,y),且R 的第一條軸與R₀ 的第一條軸間的夾角為 θ,則定義F 的不變運動密度為 設E² 上有長度為Li 的曲線C_i= 1,2。讓曲線C₁固定，曲線C₂ 作剛體運動，其運動密度記為dC₂,並設 C₂ 在任意位置與 C₁ 的交點數均有限，記為 n，則得龐加萊公式(Poincareformula)

再設C_i 是分段光滑的簡單閉曲線，其全曲率為c_i(即C_i的各段光滑曲線的相對曲率關於弧長參數的積分之和，再加上各角點處的外角)，所圍的區域記為D_i其面積為S_i，用 表示相交區域 的邊界的全曲率。讓曲線C₁ 固定，曲線 C₂作剛體運動，把c₁₂ 對所有可能的 C2的位置進行積分，則有布拉施克運動公式(Blaschke's kinematic formula)

設χ 為交集 的連通分支數，則上面的公式成為

所有上面的結果都可以推廣到高維空間。

發展

簡史幾何機率的研究要以有關的圖形集合的測度為基礎，因而自然要導致積分幾何的建立。一般認為,最早的幾何機率問題是 G.-L.L.de布豐提出並解決的投針問題：設在平面上有一組平行線,其行距都等於D；把一根長度l<D的針隨機地投上去，則這根針和一條直線相交的機率是2l/πD。

到19世紀下半葉，克羅夫頓已獲得了一系列的積分公式；它們至今仍然是積分幾何中很基本的公式，其特點是概括性高而推導簡潔。但就在此時，J.L.F.貝特朗卻發現，對於同一個幾何機率問題，對有關測度的不同要求會導致互相矛盾的解答。

後來H.龐加萊指出，只須要求所採用的測度在一定變換群下不變，那樣的矛盾就不會出現。從此，幾何機率同變換群相結合，形成了積分幾何的理論基礎，成果日漸豐富。

1935年起，布拉施克及其合作者在“積分幾何”這個總標題下發表了一系列論文，積分幾何就開始作為幾何的一個分支獲得了系統而深入的發展。其中，陳省身作出了卓越的貢獻，齊性空間積分幾何的理論就是他和A.韋伊建立起來的。在齊性空間裡，他引進了一種較一般的關聯概念，並在此基礎上獲得了克羅夫頓公式的一種推廣，他還推得了En里緊緻流形的一般運動公式，作為運動主要公式的補充。

桑塔洛是布拉施克最早的合作者之一，他畢生致力於積分幾何的研究，時間最長，成果廣泛而豐富，所著《積分幾何與幾何機率》一書是迄今為止這方面最完備的專著。

中國較早從事積分幾何研究的還有吳大任，他第一次把歐氏空間積分幾何的基本成果（包括運動主要公式在內），推廣到三維橢圓空間。他還證明了關於E2和E3里凸體弦冪積分的一系列不等式。中國學者還獲得了其他若干成果。例如，任德麟推得了n維歐氏空間和非歐空間裡含在一個凸體內的定長線段測度公式，把關於弦冪積分的不等式推廣到En，並且推廣了布豐投針問題。

套用

由於積分幾何是和機率以及統計緊密聯繫著的，它在許多學科（如生物學、醫學、礦物學、金屬學，以至物理、天文、建築、聲學等）中都有套用。隨著電子計算機性能的迅速提高，使用的日益廣泛，這種套用正方興未艾。已經出現了“隨機幾何學”和“數理生態學”這樣的學科名稱。這方面，所採用的方法之一是所謂的立體度測法：簡單地說，有些幾何對象的立體性質只能通過對它們的直線截痕或平面截痕的大量觀測來推算，積分幾何就在這裡提供了理想的工具。