基本介紹
- 中文名：二重積分
- 外文名：double integral
- 性質：數學術語
- 計算方法：化為二次積分
- 本質：曲頂柱體體積
- 套用學科：數學
定義,性質,意義,幾何意義,數值意義,直角坐標系中,X型區域,Y型區域,在極坐標中,
定義
設二元函式z=f（x，y）定義在有界閉區域D上，將區域D任意分成n個子域
，並以
表示第
個子域的面積。在 上任取一點
作和
。如果當各個子域的直徑中的最大值
趨於零時，此和式的極限存在，且該極限值與區域D的分法及的取法無關，則稱此極限為函式
在區域
上的二重積分，記為
，即
。
這時，稱
在
上可積，其中 稱被積函式，
稱為被積表達式，
稱為面積元素，
稱為積分區域，
稱為二重積分號。
同時二重積分有著廣泛的套用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛套用。
性質
積分的線性性質
性質1 （積分可加性） 函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即
性質2 （積分滿足數乘） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外，即
比較性
性質3 如果在區域D上有f(x,y)≦g(x,y)，則
估值性
性質4 設M和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積，
則
性質5 如果在有界閉區域D上f(x,y)=k（k為常數)，σ為D的面積，則Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重積分中值定理
設函式f(x,y)在有界閉區域D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得
意義
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
幾何意義
在空間直角坐標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
例如二重積分
,其中
，表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積
。
數值意義
二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
如函式
，其積分區域D是由
所圍成的區域。
其中二重積分是一個常數，不妨設它為A。對等式兩端對D這個積分區域作二重定積分。
故這個函式的具體表達式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為A，而等式最左邊根據性質5，可化為常數A乘上積分區域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數A來求解。
直角坐標系中
當f(x,y)在區域D上可積時，其積分值與分割方法無關，可選用平行於坐標軸的兩組直線來分割D，這時每個小區域的面積Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐標系下，面積元素dσ=dxdy，從而二重積分可以表示為
由此可以看出二重積分的值是被積函式和積分區域共同確定的。將上述二重積分化成兩次定積分的計算，稱之為：化二重積分為二次積分或累次積分。
X型區域
設積分區域是由兩條直線x=a，x=b（a<b），兩條曲線
圍成。可以表示
的區域稱為X型區域，如圖。
X型區域
X型區域特點：穿過D內部且平行於y軸的直線，與D的邊界交點數不多於兩點。
如左圖，對任意取定的x0∈[a，b]，過點（x0，0，0）作垂直於x軸的平面x=x0，該平面與曲頂柱體相交所得截面是以區間
為底，z=f（x0，y)為曲邊的曲邊梯形，由於x0的任意性，這一截面的面積為
，其中y是積分變數在積分過程中視x為常數。上述曲頂柱體可看成平行截面面積S（x）從a到b求定積分的體積，從而得到：
Y型區域
積分區域
稱為Y型區域。
Y型區域
Y型區域特點：穿過D內部且平行於x軸的直線，與D的邊界交點數不多於兩點。
稱D為Y型區域，此時可採用先對x，後對y積分的積分次序，將二重定積分化為累次積分：
在極坐標中
在直角坐標系xOy中，取原點為極坐標的極點，取正x軸為極軸，則點P的直角坐標系（x，y）與極坐標軸（r，θ）之間有關係式：
在極坐標系下計算二重積分，需將被積函式f（x，y），積分區域D以及面積元素dσ都用極坐標表示。函式f（x，y）的極坐標形式為f（rcosθ，rsinθ）。為得到極坐標下的面積元素dσ的轉換，用坐標曲線網去分割D，即用以r=a，即O為圓心r為半徑的圓和以θ=b，O為起點的射線去無窮分割D，設Δσ就是r到r+dr和從θ到θ+dθ的小區域，其面積為
，可得到二重積分在極坐標下的表達式：
