短程線問題

短程線問題(shortest distance problem)亦稱“測地線問題”，是變分學中的一個重要問題。設A、B為某一曲面上二點，求在該曲面上連結A、B且長度取極值的曲線的問題。這個問題在1697年部分地為約翰·貝努利所解決。一般黎曼流形上的短程線的分布問題仍然是現代微分幾何的研究對象。

基本介紹

• 中文名：短程線問題
• 外文名：shortest distance problem
• 所屬學科：數學
• 別名：測地線問題
• 屬性：變分學中的一個重要問題
• 提出者：1697年約翰·伯努利提出
• 相關概念：變分問題，條件極值問題等

基本介紹

變分問題

變分法是研究泛函極值問題的一個數學分支，它在物理、力學和工程技術中有廣泛的套用。泛函極值問題與函式極值問題非常相似，但又有本質的不同。變分問題(variational problem)是有關求泛函的極大值和極小值的問題，最早研究的重要變分問題有：

1.最速降線問題：給定不在同一鉛垂線上的兩點A和B，求出連結A和B的一條曲線使其具有這樣的性質：當質點受重力作用沿著這條曲線由A下滑至B時所需時間為最少。

2.短程線問題：求曲面φ(x，y，z)=0上所給二點間長度最短的曲線，這條最短曲線稱為短程線或測地線。

3.基本的等周問題：求長為一定的封閉曲線l，使其所圍的面積S為極大。

短程線問題

在1697年，約翰·伯努利提出了第二個變分問題，即短程線或測地線問題。問題的提法是，在光滑曲面上給定和兩點，如圖1所示，在該曲面上求連線這兩點的一條最短曲線L。這條曲線方程為

式中，和為連續可微函式，滿足約束條件。

圖1 短程線問題

這條最短曲線叫短程線或測地線，用L表示這段曲線的長度，有

短程線問題歸結為在約束條件下求極值的問題，也就是所謂約束極值或條件極值問題。

短程線問題的求法

短程線的求法可歸結為下面的條件極值問題，設曲面S的方程為

，S上連線A，B的一切曲線

中，確定一條，使泛函

在上取極值。

定理1(拉格朗日(Lagrange)定理) 設函式在條件(1)下使泛函(2)取極值，並且沿曲線，偏導數中至少有一個不為零，則必有函式，使得滿足泛函

的歐拉方程組

其中。

定理1解決了整型約束條件下的泛函的極值問題，對微分型的約束條件，我們也有相應的拉格朗日定理。

定理2 設函式在條件

下，使泛函(2)取極值，且沿曲線的偏導數或中至少有一個不等於零，則必有函式因子，使得滿足泛函

的歐拉方程組

注意，式(4)中含有的一階導數，式(4)僅在外形上與(3)相同。