直線和圓相切

數學領域的詞語。直線和圓相切，直線和圓有唯一公共點，叫做直線和圓相切。可以通過比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小、或者方程組、或者利用切線的定義來證明。

基本介紹

• 中文名：直線和圓相切
• 類別：數學概念

定義

直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．

證明方法：（3種）

第一種

在直角坐標系中直線和圓交點的坐標應滿足直線方程和圓的方程，它應該是直線 Ax+By+C=0 和圓 x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F=0）的公共解，因此圓和直線的關係，可由方程組

Ax+By+C=0

x²+y²+Dx+Ey+F=0

的解的情況來判別

如果方程組有兩組相等的實數解，那么直線與圓相切與一點，即直線是圓的切線。

第二種

直線與圓的位置關係還可以通過比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小來判別，其中，當 d=r 時，直線與圓相切。

第三種

利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交於半徑的外端”，於是只需直接證明這條直線垂直於半徑的外端．

例： 已知：△ABC內接於⊙O，⊙O的直徑AE交BC於F點，點P在BC的延長線上，且∠CAP=∠ABC．

求證：PA是⊙O的切線．

證明：連線EC．

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ACE=90°，

∴∠E+∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，

　∴∠E=∠CAP，

例題配圖

∴∠EAC+∠CAP=∠EAC+∠E=90°，

∴∠EAP=90°，

∴PA⊥OA，且過A點，

則PA是⊙O的切線．