基本介紹
- 中文名:發散級數
- 外文名:divergent series
- 指:不收斂的級數
- 比如:級數1+2+3+4……和1-1+1-1……
- 遵照:柯西意義
簡介,級數的求和,
簡介
記無窮級數
.

當n→
時,若部分和數列{
}有極限s,即
則稱無窮級數
收斂,且稱s為無窮級數
的和,並記為






若數列{
}極限不存在,則稱無窮級數
發散。


總之,發散是收斂的否定。
級數的求和
(summ ation ofseries)
賦予某些發散級數以“和”的法則,按照柯西的定義,收斂級數以其部分和的極限為和,這種和是有限(項的)和的直接推廣,可稱為柯西和,按照這種定義,發散級數是沒有和的,從而只是沒有實際意義的數學記號而已。然而數學的發展表明,完全排斥發散級數是不恰當的。例如,函式 1/(1+x2) 在 x=±1 時是有意義的,而在其泰勒展開式
中令x=±1卻得到發散級數
,這說明它應該是有“和”的。


再如連續函式的傅立葉級數可能是發散的,但其前 n 個部分和的算術平均當 n→∞ 時卻總有確定極限,這說明這些級數是可以有“和”的。在這些情況下,人們需要也可以對某些發散級數的“和"作出合理的解釋。於是出現這樣一些法則,用它可以確定任意級數有和或者沒有和,並在前一種情況下,給出求和的方法,這種法則就稱為級數的求和。



級數求和主要是針對發散級數提出來的。每一種求和法都能使某些發散級數有和,同時又希望按照它,所有的收斂級數都是可和的,並且所求出的和與其柯西和相等,這樣的級數求和方法就稱為正則的。級數的正則求和法是收斂性(柯西和)概念的直接推廣,在調和分析、通近論等數學學科中有很多套用。