群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群，那么H稱為G的子群。
正規子群亦稱不變子群。是一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。特徵子群(characteristic subgroup)是一類特殊的正規子群。
基本介紹
- 中文名：特徵子群
- 外文名：characteristic subgroup
- 領域：代數
- 定義：一類特殊的正規子群
- 性質：群的自同構作用下不變
- 記號：H char G
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概念介紹
特徵子群(characteristic subgroup)是一類特殊的正規子群。指在群的自同構作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若H在群G的任意一個自同構作用下不變，即對任意的σ∈Aut(G)，σ(H)≤H，則稱H是G的特徵子群，常記為H char G；又若H在G的任一自同態下的像仍屬於H，則稱H為G的全不變子群。全不變子群是特徵子群，特徵子群是正規子群；但反之不一定對。例如，群G的中心是G的特徵子群，但通常不是G的全不變子群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
子群
如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群，那么H稱為G的子群。
群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G.任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群.不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
正規子群
正規子群亦稱不變子群。是一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。
同構
同構是指兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
