《準周期薛丁格運算元中的動力系統理論》是依託北京理工大學，由劉慶暉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：準周期薛丁格運算元中的動力系統理論
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：劉慶暉
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究準周期薛丁格運算元譜的結構。該研究主要依賴於動力系統理論工具，同時也能促進動力系統理論的發展。本項目的意義在於藉助分形幾何、動力系統理論，發展薛丁格運算元譜理論，為相關物理研究提供理論基礎。本項目將首先完成連分式展開部分商無界的頻率對應的Sturm勢薛丁格運算元譜結構的研究，同時將研究Cookie-Cutter-like動力系統對應集合的維數與熵、Lyapunov指數的關係，再將復動力系統理論引入到一般Sturm勢的研究中，還將利用動力系統方法研究Thue-Morse序列和Toeplitz序列的譜結構。
結題摘要
本項目主要是用動力系統的方法研究準周期薛丁格運算元譜的結構。經過項目組全體成員四年的工作，獲得了豐富的成果。本項目擬定了四個問題：一、Sturm勢譜結構，二、Thue-Morse勢譜結構，三、引入復動力系統，四、將Sturm勢譜維數與熵和Lyapunov指數聯繫起來。前三個問題都取得了重要突破，第四個目前取得部分進展。此外，還在薛丁格運算元譜積分狀態密度、分形幾何基礎研究上取得了一些進展。共發表標註本項目資助的SCI論文10篇，會議論文1篇。所得部分結果發表在Advances in Mathematics, Communications in Mathematical Physics等高水平雜誌上。 對於第一個問題，我們得到了Sturm勢任意斜率對應譜的Hausdorff維數、Packing維數和盒維數公式，得到了Packing維數等於1的充分必要條件，與我們2004年得到的Hausdorff維數等於1的充分必要條件形成漂亮的對偶。論文繼承了我們2007年研究斜率連分式展開部分商有界情形採用的Cookie-Cutter-like動力系統框架，克服的核心困難是部分商無界情形。這篇文章的方法和結果受到審稿人的很高評價。 對於第二個問題，在Thue-Morse勢方面，我們連續取得了兩項突破。一項是得到了對任意勢強度，譜的Hausdorff維數有大於0的公共下界。國際同行稱這一結果太意外，是非可逆勢研究的一個突破。我們的核心技巧是注意到在一個不動點附近跡多項式的疊代有某種重整化性質。我們通過挖掘這一重整化性質得到了維數的公共正下界。一項是證明了存在跡多項式軌道無界的譜點。此前人們沒有發現這種譜點的例子。我們通過研究一個複雜的非雙曲動力系統證明了這種譜點的存在性和在譜中的稠密性。此外，我們還在研究矩陣乘積疊代動力系統的基礎上得到了這類譜點廣義特徵解的精細估計。審稿人稱本文結果是非可逆勢譜性研究的突破，文章充滿創造性的想法和令人驚訝的細緻估計。 對於第三個問題，我們在Sturm勢譜的研究中引入了復動力系統理論和方法，得到了較好的傳播指數估計。 綜上所述，本項目運用動力系統的方法研究薛丁格運算元譜結果取得了很大的進步，同時也豐富發展了動力系統理論，為進一步研究薛丁格運算元打下了堅實的基礎。
