混合外代數

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。

由模的張量積構造的一類代數。或者是各階反變張量空間的並構成的代數。

混合外代數(mixed exterior algebra)是外代數的推廣。

基本介紹

• 中文名：混合外代數
• 外文名：mixed exterior algebra
• 領域：代數
• 本質：外代數的推廣
• 性質：模的張量積構造的一類代數
• 相關術語：對偶空間、張量積

概念介紹

混合外代數(mixed exterior algebra)外代數的推廣。設E*，E是特徵為零的域K上的對偶空間，∧E*，∧E是E*，E的外代數，若∧(E*，E)=∧E*∧E為∧E*與∧E的標準張量積，對任意u*，v*∈∧E*，u，v∈∧E，定義：

則∧(E*，E)是一個有單位元的結合代數，稱為E*，E上的混合外代數。它是由形如11，x*1，1x(x*∈E*，x∈E)的元生成的代數。

代數

數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。

設K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合。賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數。當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數.

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了，到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

外代數

定義一

由模的張量積構造的一類代數。設T(M)是R模M是張量代數，若：

是i個M的張量積，則：

其中。若B是一切，x∈M在T(M)中生成的理想，則：

且.

稱商代數E(M)=T(M)/B為外代數。若：

則，且。因此，E(M)為一個分次代數。若A是R代數，f為R模M到A的R模同態，滿足：

則由T(M)的泛性質，f可惟一擴張為T(M)到A的代數同態f*，且滿足：

由於f*的核含一切，任意x∈M，即，所以存在E(M)到A的代數同態f-：x+B→f(x)。於是，R模M到R代數A的模同態f，若滿足f(x)=0，x∈M，則f可惟一擴張為E(M)到A的R代數同態：

f：f(x+B)=f(x).

定義二

各階反變張量空間的並構成的代數。用Λ(V)記形式和：

則Λ(V)是2維向量空間。設：

其中。ξ與η的外積是：

則Λ(V)關於外積成為一個代數，稱為向量空間V的外代數或格拉斯曼代數。

向量空間Λ(V)的基底是{1，e_i，e_i1∧e_i2，…，e₁∧…∧e_n}(1≤i≤n，1≤i₁<i₂≤n).

同樣，人們也有對偶空間V的外代數：

的元素稱為向量空間上的r次外形式，它是V上反對稱r重線性函式。

對偶空間

對偶空間是一種特殊的線性空間。即線性空間的線性函式空間。設V是域P上的線性空間，V的所有線性函式構成的域P上的線性空間，稱為V的對偶空間，記為V(即Hom_P(V，P)).當dim V=n，並且ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基時，由等式ε_i(ε_j)=δ_ij (i，j=1，2，…，n)所確定的n個線性函式ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基，稱為基ε₁，ε₂，…，ε_n的對偶基。由上知，當dim V=n有限時，dim V=dim V=n;但當dim V無限時，二者不再相等，即它們的基元素不再是一一對應的。