洛倫茨吸引子是洛倫茨振子(Lorenz oscillator)的長期行為對應的分形結構,以愛德華·諾頓·洛倫茨的姓氏命名。
基本介紹
- 中文名:洛倫茨吸引子
- 提出者:愛德華·諾頓·洛倫茨
- 提出時間:1963年
- 學科:數學
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簡述
洛倫茨吸引子及其導出的方程組是由愛德華·諾頓·洛倫茨於1963年發表,最初是發表在《大氣科學雜誌》(Journal of the Atmospheric Sciences)雜誌的論文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的,是由大氣方程中出現的對流卷方程簡化得到的。
這一洛倫茨模型不只對非線性數學有重要性,對於氣候和天氣預報來說也有著重要的含義。行星和恆星大氣可能會表現出多種不同的準周期狀態,這些準周期狀態雖然是完全確定的,但卻容易發生突變,看起來似乎是隨機變化的,而模型對此現象有明確的表述。
從技術角度看來,洛倫茨振子具有非線性、三維性和確定性。2001年,沃里克·塔克爾(Warwick Tucker)證明出在一組確定的參數下,系統會表現出混沌行為,顯示出人們今天所知的奇異吸引子。這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數在2與3之間的分形。彼得·格拉斯伯格(Peter Grassberger)已於1983年估算出豪斯多夫維數為2.06 ± 0.01,而關聯維數為2.05 ± 0.01。
洛倫茨吸引子是洛倫茨振子(Lorenz oscillator)的長期行為對應的分形結構,以愛德華·諾頓·洛倫茨的姓氏命名。洛倫茨振子是能產生混沌流的三維動力系統,是一種吸引子,以其雙紐線形狀而著稱。映射展示出動力系統(三維系統的三個變數)的狀態是如何以一種複雜且不重複的模式,隨時間的推移而演變的。
洛倫茨方程
簡化後的形式稱為洛倫茨方程,是決定洛倫茨振子狀態的方程為一組常微分方程:
含時間參數的形式:
瑞利數
不同ρ值時的洛倫茨吸引子 | |
---|---|
ρ=14, σ=10, β=8/3(放大) | ρ=13, σ=10, β=8/3(放大) |
ρ=15, σ=10, β=8/3(放大) | ρ=28, σ=10, β=8/3(放大) |
ρ值較小時,系統是穩定的,並能演變為兩個定點吸引子中的一個;當ρ大於24.74時,定點變成了排斥子,會以非常複雜的方式排斥軌跡,演變時自身從不交叉。 |
原始碼
GNU Octave
下面是GNU Octave模擬洛倫茨吸引子的原始碼:
## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve## x' = sigma*(y-x)## y' = x*(rho - z) - y## z' = x*y - beta*zfunction dx = lorenzatt(X) rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3; dx = zeros(3,1); dx(1) = sigma*(X(2) - X(1)); dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2); dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3); returnend## Using LSODE to solve the ODE system.clear allclose alllsode_options("absolute tolerance",1e-3)lsode_options("relative tolerance",1e-4)t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);TMSGplot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))view(45,45)
Borland C
#include <graphics.h>#include <conio.h>void main(){ double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1; double dt = 0.0001; int a = 5, b = 15, c = 1; int gd=DETECT, gm; initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI"); do { x1 = x + a*(-x+y)*dt; y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt; z1 = z + (-c*z+x*y)*dt; x = x1; y = y1; z = z1; putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320), (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9); } while (!kbhit()); closegraph();}
參見
- 混沌映射列表
- Takens定理
- 曼德布洛特集合