波德圖（英語：Bode plot，“Bode”的英文發音類似Boh-dee，荷蘭文的發音則類似Bow-dah），又名伯德圖、波特圖，是線性非時變系統的傳遞函式對頻率的半對數坐標圖，其橫軸頻率以對數尺度表示，利用波德圖可以看出系統的頻率回響。波德圖一般是由二張圖組合而成，一張幅頻圖表示頻率回響增益的分貝值對頻率的變化，另一張相頻圖則是頻率回響的相位對頻率的變化。
波德圖可以用電腦軟體（如MATLAB）或儀器繪製，也可以自行繪製。利用波德圖可以看出在不同頻率下，系統增益的大小及相位，也可以看出大小及相位隨頻率變化的趨勢。
波德圖的圖形和系統的增益，極點、零點的個數及位置有關，只要知道相關的資料，配合簡單的計算就可以畫出近似的波德圖，這是使用波德圖的好處。
基本介紹
- 中文名：波德圖
- 外文名：bode plot
- 領域：控制工程
- 作用：看出系統的頻率回響
- 繪製方式：電腦軟體（如MATLAB）或儀器
- 提出者：波德
簡介,波德圖手繪的規則,直線近似的增益圖,穩定性,
簡介
波德圖是由貝爾實驗室的荷蘭裔科學家亨德里克·韋德·波德在1930年發明。波德用簡單但準確的方法繪製增益及相位的圖，因此他發明的圖也就稱為波德圖。
波德圖幅頻圖的頻率用對數尺度表示，增益部分一般都用功率的分貝值來表示，也就是將增益取對數後再乘以20。由於增益用對數來表示，因此一傳遞函式乘以一常數，在波德增益圖只需將圖形的縱向移動即可，二傳遞函式的相乘，在波德幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區：
波德圖相頻圖的頻率也用對數尺度表示，而相位部分的單位一般會使用度。配合波德相頻圖可以估算一信號進入系統後，輸出信號及原始信號的比例關係及相位。例如一個Asin(ωt) 的信號進入系統後振幅變原來的k倍，相位落後原信號Φ，則其輸出信號則為(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是頻率的函式。相頻圖縱軸-180度以上具有正相位裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區
若將系統的增益以複數表示，則複數增益取對數後的虛部即為相位，因此二傳遞函式的相乘，在波德相點陣圖上也是圖形的相加。
波德圖的增益和相位很難單獨的變動、二者會互相牽扯，當調整系統的增益回響時，系統的相位回響也會隨之變化，反之亦然。最小相位系統的增益和相位特性之間可以用希爾伯特轉換來轉換，因此知道其中一項即可求出另外一項。
波德圖手繪的規則
波德圖的前提就是可以處理以下型式函式的對數值：
上述函式的對數值可以轉換為極點及零點對數的和：
在繪製波德相點陣圖時直接使用了上述的概念。增益圖的繪製時則是以此概念為基礎，因為每個極點或零點其增益的對數均從0開始，而且其漸近線只有一個轉折點，因此繪製時可以再作簡化。
直線近似的增益圖
波德圖增益分貝值一般都利用 20log10(X)的公式。考慮以下的轉換函式：
其中
及
是常數，s=jΩ,an,bn>0，而H是轉換函式。
- 在每個對應{\displaystyle \omega =x_{n}}（零點）的位置，將直線的斜率增加{\displaystyle 20\cdot a_{n}\ dB}/十倍頻。
- 在每個對應{\displaystyle \omega =y_{n}}（極點）的位置，將直線的斜率減少{\displaystyle 20\cdot b_{n}\ dB}/十倍頻。
- 圖在起始點時的增益值，可以依照圖中的角頻率下限，計算其對應的|H(jω)|。
- 圖在起始點時的斜率則依照有多少零點及極點低於角頻率下限，再依上述二個方式計算斜率，若所有點及極點均高於角頻率下限，起始點時的斜率為零。
在處理無法分解的二次多項式{\displaystyle ax^{2}+bx+c\ }時，多半可以用{\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}的方式近似。
波德圖（Bode）是振動的幅值（尤指工頻分量或二階分量）和相位隨轉速而變化的圖。與頻響函式的幅、相頻特性曲線類似。從波德圖上可以清楚的看出轉子過臨界轉速的振動狀況。
波德圖（bode）是反映機器振動幅值、相位隨轉速變化的關係曲線。圖形的橫坐標是轉速，縱坐標有兩個，一個是振幅的峰－峰值，另一個是相位。從波德圖上我們可以得到以下信息：
波德圖
波德圖a. 轉子系統在各種轉速下的振幅和相位；
b. 轉子系統的臨界轉速；
c. 轉子系統的共振放大係數(Q=Amax/ε)；一般小型機組Q在3～5甚
至更小，而大型機組在5～7；超過上述數值，很可能是不安全的；
d. 轉子的振型；
e. 系統的阻尼大小；
f. 轉子上機械偏差和電氣偏差的大小；
g. 轉子是否發生了熱彎曲。
穩定性
一般是指作用在系統上的擾動排除後，系統能否恢復原狀、或以怎樣的精度恢復原狀的性能。它是控制理論的一個極其重要的問題。在經典控制理論中，一般涉及到的是定常的線性系統，有關這種系統的穩定性的判別方法主要有： 羅斯—胡爾維茨準則、奈奎斯特判據、波德圖、尼柯爾圖和根軌跡法等。在現代控制理論中，對線性系統和非線性系統的穩定性的研究，主要是李雅普諾夫的穩定性理論。李雅普諾夫根據系統的輸出 (回響) 是否有界來定義系統的穩定性，並區分了三種情況： (1) 穩定的，即對於系統初始值的一個擾動，如果其回響的幅值是有界的。(2) 漸近穩定的，即對於系統初始值的一個擾動，如果其回響能夠最終回到初始狀態。(3)不穩定的，即對於系統初始值的一個擾動，其回響的幅值不是有界的。經典控制理論所研究的穩定性只限於第二種情況漸近穩定，而把另兩種情況都看作是不穩定的。因而李雅普諾夫的穩定性概念更具一般性。李雅普諾夫用兩種方法分析系統的穩定性，第一種方法是： 用近似極數表示非線性函式，然後用近似方法求解非線性方程，最後根據解的性質，確定其系統的穩定性; 第二種方法是： 不必求解方程，而用李雅普諾夫函式的純量函式來判別系統是否穩定，並分析系統的回響。由於第二種方法具有不必求解方程的特點，因而也稱直接法，而稱第一種方法為間接法。由於許多非線性系統和時變系統的方程是難以求解的，又由於通過計算機可以找到所需的李雅普諾夫函式，還能找到系統的穩定區域，所以第二種方法在控制理論中得到廣泛套用。穩定性對於社會經濟系統極為重要，是經濟學經常討論的重要課題之一。探討經濟系統的穩定性，對於了解經濟系統的動態發展規律、預測經濟發展方向以及分析經濟系統的結構等，都有著重要的現實意義。
