伯德圖

伯德圖

伯德圖是系統頻率回響的一種圖示方法。伯德圖由幅值圖和相角圖組成，兩者都按頻率的對數分度繪製，故伯德圖常也稱為對數坐標圖。

伯德圖可以用電腦軟體（如MATLAB）或儀器繪製，也可以自行繪製。利用伯德圖可以看出在不同頻率下，系統增益的大小及相位，也可以看出增益大小及相位隨頻率變化的趨勢，還可以對系統穩定性進行判斷。伯德圖的圖形和系統的增益，極點、零點的個數及位置有關，只要知道相關的資料，配合簡單的計算就可以畫出近似的伯德圖，這是使用伯德圖的好處。

基本介紹

  • 中文名：伯德圖
  • 外文名：Bode Plots
  • 別稱：波特圖、波德圖
  • 作用：分析系統頻率回響特性
基本概念,分析過程,分解為典型環節,伯德圖畫法,分析方法,伯德圖的優勢,範例,

基本概念

伯德圖是由貝爾實驗室的荷蘭裔科學家亨Bode，H.W. 在1940年提出。Bode發明了一種簡單但準確的方法繪製增益及相位的圖，這樣的圖後來也就稱為了伯德圖。
伯德圖是線性非時變系統的傳遞函式對頻率的半對數坐標圖，其橫軸頻率以對數尺度（log scale）表示，縱坐標幅值或相角採用線性分度，利用伯德圖可以看出系統的頻率回響。伯德圖一般是由二張圖組合而成， 伯德圖由兩張圖組成：①G(jω)的幅值(以分貝，dB表示)-頻率(以對數標度)對數坐標圖，其上畫有對數幅頻曲線；②G(jω)的相角-頻率(以對數標度)對數坐標圖，其上畫有相頻曲線。
對數幅值的標準表達式為20 lg|G(jω)|，單位是分貝，相角的單位是度。由於增益用對數來表示（log(ab)=log(a)+log(b)），因此一傳遞函式乘以一常數，在伯德增益圖只需將圖形的縱向移動即可，二傳遞函式的相乘，在波德幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區。
配合波德相頻圖可以估算一信號進入系統後，輸出信號及原始信號的比例關係及相位。例如一個Asin(ωt) 的信號進入系統後振幅變原來的k倍，相位落後原信號Φ，則其輸出信號則為(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是頻率的函式。相頻圖縱軸-180度以上具有正相位裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區。

分析過程

繪製伯德圖的一般步驟為：首先將開環頻率特性G(jω)H(jω)改寫為基本環節的乘積，畫出各基本環節的伯德圖，然後把各基本環節伯德圖的對數幅值相加，相角相加，就得到G(jω)H(jω)的伯德圖. 得到伯德圖後，對其進行一定的分析，就可以得到系統的穩定特性等。

分解為典型環節

系統開環傳遞函式由八種典型環節構成，將任意開環傳遞函式的分子、分母進行因式分解，都可以將開環傳遞函式轉化為若干典型環節的乘積，這八種典型環節為：
  1. 比例環節K;
  2. 慣性環節（Ts+1）-1 (T>0);
  3. 一階微分環節Ts+1 (T>0);
  4. 積分環節s-1;
  5. 微分環節s;
  6. 振盪環節 ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)， (ωn>0， 0<ζ<1);
  7. 二階微分環節 (s /ωn)2+2ζs /ωn+1 (ωn>0， 0<ζ<1);
  8. 延遲環節eτs.
具體計算過程如下：
頻率特性可以寫成一般的形式（公式1）
公式1公式1
式中K為增益(放大係數)，ωn為無阻尼自然頻率，ζ 為阻尼比。
頻率特性的對數幅值(使用記號Lm)表達式為（公式2）
公式2公式2
頻率特性的相角表達式為（公式3）或（公式4）
公式3公式3
公式4公式4

伯德圖畫法

畫伯德圖時，分三個頻段進行，先畫幅頻特性，順序是中頻段、低頻段和高頻段。將三個頻段的頻率特性(或稱頻率回響)合起來就是全頻段的幅頻特性，然後再根據幅頻特性畫出相應的相頻特性來。
圖2圖2
圖3圖3
作伯德圖時，首先寫出頻率特性，然後按常數因子K、積分和微分因子(jω)、一階因子(1+jωT)和二階因子[1+2ζ(jω/ωn)+(jω)/ω]1這樣四種基本因子分別畫出伯德圖，再總加而成。
圖2、圖3是常見簡易傳遞函式的伯德圖趨勢。

分析方法

伯德圖可用來計算負反饋系統的增益裕度（gain margin）及相位裕度，進而確認系統的穩定性。
相關符號定義
先定義以下的符號：
其中：
·AFB是考慮反饋時的放大器增益（閉環增益）
· β是反饋係數
· AOL是不考慮反饋時的放大器增益（開環增益）。
在開環增益AOL遠大於1時，閉環增益AFB可以用以下方式近似
在開環增益AOL遠小於1時，閉環增益AFB可以用以下方式近似
增益AOL是頻率的複變函數，有大小及相位。
上述的式子中，若βAOL乘積=−1時，可能會出現增益無窮大（即為不穩定）的情形。（若用大小和相位來表示，此時βAOL的大小為1，相位為-180度，此條件即稱為巴克豪森穩定性準則。配合波德圖，不但可以判斷系統是否穩定，也可以判斷系統接近以上不穩定條件的程度。
在判斷系統穩定性時，會用到以下二個頻率。第一個頻率f180是上述乘積相位恰為-180度的頻率，第二個頻率f0dB則為乘積的絕對值|βAOL|=1時的頻率（若以分貝表示時，則為0dB）。頻率f180可以用下式來計算：
其中| |表示複數的絕對值（例如|a+jb| = [a+b]）。而頻率f0dB有以下的關係：
增益裕度及相位裕度
增益裕度
增益裕度（gain margin, GM）是衡量系統穩定程度的一種方法。在波德相點陣圖上可以找到βAOL相位到達-180度時的頻率，該頻率即為f180，之後就可以在增益圖上找到該頻率時βAOL的大小。
若|βAOL|180= 1，表示此系統不穩定。若|βAOL|180< 1，此系統穩定，而|βAOL|分貝值和0dB（對應增益大小為1）的距離表示系統距離不穩定的程度，稱為增益裕度。
增益裕度也可以用下式表示：
相位裕度
相位裕度（phase margin, PM）是另一種衡量系統穩定程度的方法。在波德增益圖上可以找到|βAOL|大小為1的頻率，該頻率即為f0dB，之後就可以在相點陣圖上找到該頻率時βAOL的相位。
若βAOL(f0dB) 的相位 > −180°，表示在任何頻率時系統都會穩定，因為在f180時大小已小於1，f0dB時的相位和-180度之間的差稱為相位裕度。
若只是單純要判斷系統是否穩定，在系統為最小相位系統時，若f0dB<f180成立，則系統穩定.
若是非最小相位系統，需要用其他方式判斷穩定性，如奈奎斯特圖

伯德圖的優勢

伯德圖表明了一個電路網路對不同頻率信號的放大能力。
但是在電子電路中，這種圖有可能比較麻煩，一方面，要表示一個網路在低頻和高頻下的所有情況，那么橫軸（頻率軸會很長）。此外，一般放大電路的放大倍數可能達到幾百，使得縱軸也很長。第三，這樣畫出的圖形往往是很不規則的曲線。
波特（Bode）圖是根據上述三點作了改進：
1.橫坐標的頻率改成指數增長，而不是以前的線性增長，比如頻率刻度為。10、100、1000、10^4、等，每一小格代表不同的頻率跨度。使一條橫軸能表示如1hz到10hz這么大的頻率範圍。一個更為有用的原因是這樣做符合人耳對聲音的敏感程度（對數效應）。
2.縱坐標表示放大倍數以10為底的對數的20倍，這是根據分貝的定義做的。這樣縱坐標的值大概0到60就足夠了。這樣在圖中一眼就能看出放大的分貝數。相頻特性也可以相應的畫。
3.把曲線做直線化處理。畫圖所依據的式子中會得到fL fH的數值。得出的伯德圖也應該在fL和fH處出現拐角（此點所在的頻率稱為截斷頻率），不過這樣處理會產生一定的誤差。理論計算可知：在截斷頻率處真實值與估計值有3dB的誤差。 在斜率不為0的直線處要標明斜率。標明出每十倍頻程放大倍數的變化情況。 經過這三種簡化，伯德圖的曲線就是由一條折線組成看起來非常舒服。雖然經過處理造成了誤差，但已經成為一種標準。

範例

考慮以下的低通RC電路，如下圖，其頻域的轉換函式如下：
圖4圖4
由轉換函式可以得到其截止頻率fc（以Hz為單位）為：
另一種等效表示法為：
ωc = 1/(RC)
其中ωc為截止角頻率，單位是弧度每秒。
以角頻率表示的轉換函式如下:
H(jω) = （1+j ω/ωc）-1
上述的方程式是一個正規化後的轉換函式，其波德圖如圖4，後續將介紹如何用直線來近似波德圖。
增益圖
上述轉換函式的增益（以分貝表示）和頻率的關係如圖5所示。
圖5圖5
若在對數尺度的頻率下繪製不同頻率的增益，上式可以用二條直線近似，而這二條線也就是其波德圖增益圖的二條漸近線：
· 在角頻率小於ωc時，因ω/ωc/項較小，相對 1 而言可以忽略，因此其增益值為定值1，在增益圖上是一條位在0dB的水平線。
· 在角頻率大於ωc時，因ω/ωc項比較大，相對而言 1 可以忽略，因此式子簡化為-20log(ω/ωc)，是斜率為-20dB/十倍頻的斜線。
上述的二條線在截止頻率ωc處交會，在圖5可以看出，當頻率遠低於截止頻率時，電路的衰減量是0 dB，對應其通帶增益為 1，此時濾波電路的輸出值和輸入值相同，而當頻率高於截止頻率時，信號會被電路衰減，越高頻的信號其衰減量越大。
相點陣圖
上述轉換函式的相位和頻率的關係如下
φ = -arctan(ω/ωc)
其中,ω、ωc分別是輸入角頻率及截止角頻率。 當輸入角頻率遠小於截止角頻率時（ω<<ωc），比例ω/ωc的數值很小，因此相位角接近零度。當頻率增加，相位角的絕對值也隨之增加。在（ω=ωc）時為-45度。當輸入角頻率遠大於截止角頻率時（ω >> ωc，ω→∞），相位角會趨近-90度。
正規化圖
波德圖（包括幅頻圖及幅相圖）的橫軸頻率部份均可以用正規化的頻率（無因次頻率，ω<<ωc）表示。此時的圖稱為正規化的波德圖，而且其中不需考慮頻率的單位，因為頻率已改用頻率和截止頻率的比值來表示。

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