波印亭定理

波印亭定理是約翰·亨利·波印亭發現的關於電磁場的能量守恆的定理。它把能量密度u的時間導數，與能量的流動，以及與電磁場做功的速率聯繫起來。由以下的公式總結：

其中S是波印亭矢量，表示能量的流動，J是電流密度，E是電場強度。能量密度u為（符號ε0是真空介電常數，μ0是真空磁導率）：

由於磁場不做功，等式的右端便給出了電磁場每秒·米所做的總功的負值。

積分形式的波印亭定理為：

其中是包圍著體積的曲面。

在電機工程中，該定理通常寫成以下把能量密度u展開的形式，這與連續性方程相似：

推導

這個定理可以從麥克斯韋方程組中的兩個方程推出。首先考慮法拉第電磁感應定律：

兩邊取與的點積，得：

接著考慮安培環路定律：

兩邊取與的點積，得：

第一個方程減去第二個方程，得：

最後，根據乘積法則（兩個矢量的叉積的散度），可得：

由於波印亭矢量定義為：

因此與以下是等價的：