法線式

過原點向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角為α，p是該線段的長度。 x·cos α+ysin α-p=0。 規定：與X軸平行或重合的直線的傾斜角為0°

基本介紹

• 中文名：法線式
• 外文名：Normal form
• 適用範圍：數理科學
• 套用鄰域：解析幾何
• 方程式：xcosα+ysinα-p=0

定義

直線方程一般有以下八種描述方式：點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式，法線式，法向式，點向式。

過原點向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角為α，p是該線段的長度。則該直線方程的法線式為：xcosα+ysinα-p=0。其中p為原點到直線的距離，θ為法線與X軸正方向的夾角。

推導方法

斜截式推導

設坐標平面內的任意一條直線l在y 軸上的截距為b，法線n交直線l於點N， ，x軸的正方向到法線n的正方向的角為θ，則直線l和y軸的交點B的坐標與點N的坐標分別為（0，b）與（psinθ，pcosθ）（圖一）

圖一

由 得

故

解得

又由法線n的斜率 知

直線l的斜率

將這裡的K和b的值代入直線方程的斜截式得

若 ，方程兩端都乘以 後，將各項都移至等號左邊得

若 ，仍有

兩點式推導

因直線l經過點N（pcosθ，psinθ）及點B （圖一），故

因此

兩邊都乘以 後，展開得

將兩項都移至等號左邊得：

因為 ，所以直線l不與x軸平行，因而法線n不與x軸垂直，於是

所以

截矩式推導

設直線l在x軸上的截距為a（圖一），用與求 類似的方法可求得

將這裡的a和b的值代入直線方程的截距式得

整理得

勾股定理推導

設P（x，y）為直線上的任意一點（ 下文中的p皆與此意義同），則圖一中：

故

兩邊平方並整理得