沙勒定理

沙勒定理(Chasles theorem)關於變換的著名定理，該定理斷言：既非旋轉也非平移的空間第一種契約變換是一個旋轉與一個平移之積，且旋轉軸平行於這平移的方向。簡言之，既非旋轉又非平移的空間第一種契約變換(運動變換)是一個螺旋運動。

基本介紹

• 中文名：沙勒定理
• 外文名：Chasles theorem
• 提出者：Michel Chasles
• 提出時間：1830年
• 套用學科：數理科學
• 適用領域範圍：運動學，空間位移

歷史

空間位移可以分解成旋轉並繞著一條線滑動的證據歸功於天文學家和數學家Giulio Mozzi（1763），實際上螺旋軸在義大利傳統上被稱為asse di Mozzi。 然而，大多數教科書都是指Michel Chasles在1830年後的類似作品。 M. Chasles的其他幾位同時代的學者在那個時期獲得了相同或相似的結果，包括G. Giorgini，Cauchy，Poinsot，Poisson和Rodrigues。可以在這裡找到Giulio Mozzi的1763證明及其一些歷史記錄。

內容

當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。沙勒定理是歐拉旋轉定律的一個推論。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。所以，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。

挑選剛體內部一點 來代表整個剛體，從空間參考系 觀測，點 的位置就是整個剛體在空間的位置，在剛體內部任意一點 的位置 為：

其中， 、 分別是點 的位置、點 對於點 的相對位置。

剛體從時間 到時間 的運動，可以分為點 從 到 的平移運動，與位移 從時間 到時間 的旋轉運動。點P的速度 為：

其中， 、 分別是點 的速度、點 對於點 的相對速度。

點P的加速度 為：

其中， 、 分別是點 的加速度、點 對於點 的相對加速度。

證明

Michel Chasles認為剛體首先圍繞穿過質心的軸旋轉，然後沿任意方向平移位移。由於關於存在旋轉軸的歐拉定理，可以以這種方式完成任何剛性運動。質心的位移D可以分解成平行和垂直於軸的分量。垂直（或平行）分量作用於剛體的所有點，但Michel Chasles表明，對於某些點，先前的旋轉恰好具有相反的位移，因此這些點平行於旋轉軸平移。這些點位於Mozzi軸上，通過螺桿運動可以實現剛性運動。

沙勒定理的另一個基本證明是E.T.Whittaker在1904年給出的。假設A被轉換為B.Whittaker建議平行於給定旋轉的軸選擇線AK，K是B的垂線點。適當的螺旋位移是圍繞與AK平行的軸，使得K是該方法對應於歐幾里德平面等距，其中旋轉和平移的組成可以通過圍繞適當的中心旋轉來代替。在Whittaker的術語中，“圍繞任何軸的旋轉相當於圍繞與其平行的任何軸的相同角度的旋轉，以及在垂直於軸的方向上的簡單平移。”