沃爾德分解

簡介

在數學中，特別是在運算元理論中，沃爾德分解或Wold-von Neumann分解（以Herman Wold和John von Neumann命名）是給定希爾伯特空間上等距線性運算元的分類定理。它指出，每一個等距都是單方面轉變和單一經營者的直接總和。

在時間序列分析中，定理意味著任何平穩的離散時間隨機過程都可以分解為一對不相關的過程，一個是確定性的，另一個是移動平均過程。

讓H是Hilbert空間，L(H)是對有界運算符H，和V∈L(H)是一個等距。該沃爾德分解指出，每一個等距V採用的形式

對於一些索引集合A，其中S在單方面移上的Hilbert空間H_α，和U是統一的操作（可能空洞）。家庭{H_α}由同構希爾伯特空間。

一個證明可以勾畫如下。V的連續套用給出了H同構地嵌入自身的下降序列的副本：

其中V（H）表示V的範圍。上面定義的H_i=V（H）。如果一個定義

然後

很顯然，K₁和K₂是V的不變子空間。

所以V（K₂）=K₂。換言之，V限制在K₂是一個滿射等距，即，V。

此外，每個M_i同構於另一個，其中V是M_i和M_i_{+ 1}之間的同構：V“移動”M_i到M_i_{+ 1}。假設每個M_i的維數是某個基數α。我們看到K₁可以寫成直和和Hilbert空間

其中每個H_α是一個不變子空間V和V限制在每個H_α是單側移S。因此

這是一個分解爾德V。

備註

從沃爾德分解中立即得出任何適當的，即非單一的等距的光譜是複平面上的單位圓盤。

等距V被認為是，在上述證明的符號，∩_i_≥0H_i= {0}.的多重性純等距的V是核心的尺寸V *，即該指數的基數設定阿在的爾德分解V。換句話說，重數N的純粹等比例形式

在這個術語中，沃爾德分解表示一個等距作為一個純粹的等距和一個單一的運算元的直接和。

子空間M被稱為遊蕩子空間的V如果Vⁿ(M) ⊥V^m(M)。特別地，上面定義的每個M_i是V的一個漫遊子空間。

考慮等距V∈L(H)。通過表示C *（V）的C * -代數通過生成V，即C *（V）是多項式的範數閉合V和V *。沃爾德分解可以用來表征C *（V）。

設C（T）是單位圓T上的連續函式。我們記得由單邊移位S產生的C * - 代數C *（S）採取以下形式

C*(S) = {T_f+K|T_f是一個Toeplitz運算元與連續符號f∈C(T)和K是一個緊算。

在此識別中，S=T_z其中z是C（T）中的恆等函式。代數C *（S）被稱為Toeplitz代數。

定理（Coburn）C *（V）與Toeplitz代數是同構的，V是T_z的同構圖像。

在Toeplitz代數的描述中，證明取決於與C（T）的連線，么正運算元的譜包含在圓T中。

Toeplitz代數的下列性質將是需要的：