《比例延遲Volterra積分方程的有限元方法及加速技術》是依託北京工業大學，由黃秋梅擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：比例延遲Volterra積分方程的有限元方法及加速技術
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃秋梅
- 依託單位：北京工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
比例延遲Volterra積分方程是延遲積分方程的一個分支，在很多科學問題上得以廣泛套用。通常只有極少數延遲積分方程能夠獲得精確解的解析表達式。對於延遲微分方程的數值方法，已有大量研究成果，但對延遲Volterra積分方程，研究結果還相對較少，且現有數值方法以差分法為主，還沒有涉及有限元方面的研究。標準有限元方法已成功套用於常延遲微分方程；間斷有限元方法也成功套用於比例延遲微分方程，並與配置法（m-stage Runge-Kutta法）相比較，顯示出其在求解此類方程的優越性。本項目擬將有限元方法（標準和間斷有限元）套用於比例延遲Volterra積分方程。將有限元方法和已有數值解法相比較，找出各種數值解法的優缺點；將h有限元法推廣至hp有限元法，希望得到數值解的譜精度；另外，擬利用幾種後處理加速技術，得到有限元解的超收斂，減少數值解對實際問題的影響，同時豐富求解延遲積分方程數值方法的理論框架。
結題摘要
比例延遲Volterra積分方程是延遲積分方程的一個分支，在很多科學問題上得以廣泛套用。其數值分析已經成為計算數學領域的一個重要組成部分。而對延遲Volterra積分方程，研究結果還相對較少，且現有數值方法以差分法為主，還沒有涉及有限元方面的研究。本項目針對比例延遲Volterra積分方程，開展有限元方法方面的研究。將比例延遲Volterra積分方程轉化為比例延遲微分方程，開展了連續有限元、間斷有限元及其後處理方面的研究。發表論文3篇，其中2篇發表在計算數學國際頂級期刊SIAM Journal on Scientific Computing上，另外完成並投稿2篇。完成了項目的預期目標。具體研究成果簡述如下：（1）基於項目負責人及其合作者關於間斷有限元解在節點的超收斂結果，證明了間斷有限元解與真解的插值之間的超逼近結果，找到了比例延遲微分方程的間斷有限元解的所有超收斂點；基於超逼近結果及局部點的超收斂結果，提出了2大類不同的後處理格式：基於插值型的後處理格式及基於疊代型的後處理格式。對基於插值型的後處理格式，申請人及其合作者也給出了幾種不同形式的後處理格式，分別為：Lagrange型、積分型、基於多項式保持的最小二乘型三種後處理格式。（2）基於項目負責人及其合作者2010年底發表的關於比例延遲微分方程的間斷有限元結果（h-格式），將只增加單元個數，不增加分片多項式次數的h間斷有限元格式推廣為：增加單元個數及增加分片多項式次數並進的hp間斷有限元格式，討論了非線性光滑與弱奇異兩種形式解的延遲微分方程的hp間斷有限元方法，得到了各類h，p，hp間斷有限元解的理論和數值結果。（3）給出了比例延遲微分方程在一致格線剖分下連續有限元計算格式及存在唯一性證明，得到了連續有限元解的誤差結果。（4）得到了連續有限元解和真解插值之間的超逼近結果，並得到了連續有限元解的所有超收斂點，為構造合理的插值後處理格式，得到高精度的數值解奠定理論基礎。
