正實函式

正實函式

設F(s)是復變數s=σ+jω的函式,如果

(1)當Im[s]=0時,lm[F(s)]=0;

(2)當Re[s]≥0時,Re[F(s)]≥0。

則稱F(s)為正實函式,簡稱(P.r.)函式。

基本介紹

  • 中文名:正實函式
  • 外文名:positive real function
  • 所屬學科:數理科學
  • 相關概念:實函式、複數、複變函數等
定義,相關性質定理,定理1,定理2,定理3,定理4,性質1,性質2,性質3,例題解析,

定義

s為一個複數s可寫成
也可寫成
表示具有正實部,
稱為實函式,如果
。儘管
是個實函式,但是當s是複數時,它的值通常是複數。用
分別表示
的實部和虛部。
實函式
稱為正實函式,如果
,就有
如果存在
,當
時,
,則稱
是一個嚴格正實函式
粗略地講,一個正實函式就是將複平面上的實軸映射到實軸,將右半複平面映射到右半複平面。
從定義出發容易得到結論:如果
是兩個正實函式,那么
也是正實的;但是
未必是正實的。當C是正數時,
也是正實的;另外
也是正實的。

相關性質定理

下面兩個定理刻畫了正實函式和嚴格正實函式的特徵,它們可以用複變函數知識來證明。

定理1

實函式
是正實的充分必要條件是下面三條同時滿足:
(1)如果
極點,則
(2)如果
的極點,則它是單重的.並且留數為非負數;
(3)如果
不是
的極點,則

定理2

實函式
是嚴格正實的充分必要條件是下面兩條同時滿足:
(1) 如果
的極點,則
(2) 對任意的
定理1的第一個條件是說
在開的右半複平面沒有極點,我們將這個事實說成
在開的右半複平面解析。如果
是正實的.那么
]也是正實的,那么
在開的右半複平面也沒有零點,所以一個正實函式在開的右半複平面沒有零極點。因而定理1中的(2)和(3)中的“非負”都可以改為“正”。同理可得,一個嚴格正實函式在閉的右半複平面沒有零極點。

定理3

如果有理函式
是正實的,那么
證明:不妨設
,那么用帶餘除法得到
因此
重極點,根據定理1中(2).虛軸上的極點最多是一重的,因此
。如果
,那么討論
,同理可得
。結論獲證。

定理4

如果有理函式
是嚴格正實的,那么
都是Hurwitz多項式
證明:將定理2的(1)用於
,結論立得。

性質1

正實函式的倒數仍為正實函式。

性質2

正實函式之和仍為正實函式。

性質3

正實函式的複合函式仍為正實函式。

例題解析

考慮函式
討論它是嚴格正實函式的條件。
解:要求
是嚴格正實的,因此分子和分母都是Hurwitz多項式,所以得到
要使得
是嚴格正實的,只要對所有
成立
。因為
所以只要
就有
對一切
成立。總之,
是嚴格正實的條件為:

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