設F(s)是復變數s=σ+jω的函式,如果
(1)當Im[s]=0時,lm[F(s)]=0;
(2)當Re[s]≥0時,Re[F(s)]≥0。
則稱F(s)為正實函式,簡稱(P.r.)函式。
基本介紹
- 中文名:正實函式
- 外文名:positive real function
- 所屬學科:數理科學
- 相關概念:實函式、複數、複變函數等
定義,相關性質定理,定理1,定理2,定理3,定理4,性質1,性質2,性質3,例題解析,
定義
設s為一個複數,s可寫成也可寫成,表示具有正實部,稱為實函式,如果。儘管是個實函式,但是當s是複數時,它的值通常是複數。用和分別表示的實部和虛部。
實函式稱為正實函式,如果,就有。
如果存在,當時,,則稱是一個嚴格正實函式。
從定義出發容易得到結論:如果是兩個正實函式,那么和也是正實的;但是未必是正實的。當C是正數時,也是正實的;另外也是正實的。
相關性質定理
下面兩個定理刻畫了正實函式和嚴格正實函式的特徵,它們可以用複變函數知識來證明。
定理1
實函式是正實的充分必要條件是下面三條同時滿足:
(1)如果是的極點,則;
(2)如果是的極點,則它是單重的.並且留數為非負數;
(3)如果不是的極點,則。
定理2
實函式是嚴格正實的充分必要條件是下面兩條同時滿足:
(1) 如果是的極點,則;
(2) 對任意的,。
定理1的第一個條件是說在開的右半複平面沒有極點,我們將這個事實說成在開的右半複平面解析。如果是正實的.那么]也是正實的,那么在開的右半複平面也沒有零點,所以一個正實函式在開的右半複平面沒有零極點。因而定理1中的(2)和(3)中的“非負”都可以改為“正”。同理可得,一個嚴格正實函式在閉的右半複平面沒有零極點。
定理3
如果有理函式是正實的,那么。
證明:不妨設,那么用帶餘除法得到
因此是的重極點,根據定理1中(2).虛軸上的極點最多是一重的,因此。如果,那么討論,同理可得。結論獲證。
定理4
如果有理函式是嚴格正實的,那么和都是Hurwitz多項式。
證明:將定理2的(1)用於和,結論立得。
性質1
正實函式的倒數仍為正實函式。
性質2
正實函式之和仍為正實函式。
性質3
正實函式的複合函式仍為正實函式。
例題解析
考慮函式
討論它是嚴格正實函式的條件。
解:要求是嚴格正實的,因此分子和分母都是Hurwitz多項式,所以得到
要使得是嚴格正實的,只要對所有成立。因為
所以只要就有對一切成立。總之,是嚴格正實的條件為:。