正實函式

設F(s)是復變數s=σ+jω的函式，如果

(1)當Im[s]=0時，lm[F(s)]=0；

(2)當Re[s]≥0時，Re[F(s)]≥0。

則稱F(s)為正實函式，簡稱(P．r．)函式。

基本介紹

• 中文名：正實函式
• 外文名：positive real function
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：實函式、複數、複變函數等

定義

設s為一個複數，s可寫成也可寫成，表示具有正實部，稱為實函式，如果。儘管是個實函式，但是當s是複數時，它的值通常是複數。用和分別表示的實部和虛部。

實函式稱為正實函式，如果，就有。

如果存在，當時，，則稱是一個嚴格正實函式。

粗略地講，一個正實函式就是將複平面上的實軸映射到實軸，將右半複平面映射到右半複平面。

從定義出發容易得到結論：如果是兩個正實函式，那么和也是正實的；但是未必是正實的。當C是正數時，也是正實的；另外也是正實的。

相關性質定理

下面兩個定理刻畫了正實函式和嚴格正實函式的特徵，它們可以用複變函數知識來證明。

定理1

實函式是正實的充分必要條件是下面三條同時滿足：

(1)如果是的極點，則；

(2)如果是的極點，則它是單重的．並且留數為非負數；

(3)如果不是的極點，則。

定理2

實函式是嚴格正實的充分必要條件是下面兩條同時滿足：

(1) 如果是的極點，則；

(2) 對任意的，。

定理1的第一個條件是說在開的右半複平面沒有極點，我們將這個事實說成在開的右半複平面解析。如果是正實的．那么]也是正實的，那么在開的右半複平面也沒有零點，所以一個正實函式在開的右半複平面沒有零極點。因而定理1中的(2)和(3)中的“非負”都可以改為“正”。同理可得，一個嚴格正實函式在閉的右半複平面沒有零極點。

定理3

如果有理函式是正實的，那么。

證明：不妨設，那么用帶餘除法得到

因此是的重極點，根據定理1中(2)．虛軸上的極點最多是一重的，因此。如果，那么討論，同理可得。結論獲證。

定理4

如果有理函式是嚴格正實的，那么和都是Hurwitz多項式。

證明：將定理2的（1）用於和，結論立得。

性質1

正實函式的倒數仍為正實函式。

性質2

正實函式之和仍為正實函式。

性質3

正實函式的複合函式仍為正實函式。

例題解析

考慮函式

討論它是嚴格正實函式的條件。

解：要求是嚴格正實的，因此分子和分母都是Hurwitz多項式，所以得到

要使得是嚴格正實的，只要對所有成立。因為

所以只要就有對一切成立。總之，是嚴格正實的條件為：。