正則公理（也叫做基礎公理）是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。
基本介紹
- 中文名：正則性公理
- 外文名：Regular axiom
- 別名：基礎公理
- 學科：數理科學
簡介,基本蘊涵,良基性和超集合,羅素悖論和正則公理的聯繫,
簡介
正則公理（也叫做基礎公理）是Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。在一階邏輯中，這個公理可敘述如下：
翻譯為較容易理解的說法就是：
從這個公理可得出兩個結果，其一為“不存在以自身為元素的集合”，其二為“沒有無限序列an使得對於所有i，ai+1是ai的元素”。
如果這樣的無限序列不存在，則正則公理為真。所以在假定選擇公理的情況下，兩個陳述是等價的。
正則公理被認為是Zermelo-Fraenkel 集合論中套用最少的公理，因為數學分支中的所有關鍵性結果都可用集合論中的其他公理證明得到。
另外，不包含正則公理的康托的集合論，實際上假定了以自身為一個元素的集合的存在。
基本蘊涵
1）不存在以自身為元素的集合
反證，假設有一個集合A，使得A是自身的一個元素，即
。
這時，根據配對公理，可以構造出B= {A}，B也是一個集合。
但是根據我們的假定有 及
，所以
。
這與正則公理相矛盾！所以不存在這樣的集合A。
2）不存在無限遞降的集合序列
設f為一定義在自然數集上的函式，且對每個n，f(n+1) 都是f(n) 的一個元素。
定義f的值域S= {f(n):n是自然數}，按照函式的形式定義S是一個集合。對S套用正則公理，可知S中有一個元素f(k)，其與S不相交。
但按照f和S的定義，f(k) 和S有一個公共元素（就是f(k+1)）。
這是個矛盾，所以不存在這樣的f。
注意這個論證只有在集合（而非不可定義的類）的情況下才對f適用。
繼承有限集合Vω是滿足正則公理的，所以如果你構造Vω的一個非平凡的超冪，那么它也會滿足正則公理，但是，它會包含無限遞減的元素序列。
3）假定選擇公理，則“無限遞減的集合序列不存在”蘊含正則定理
設非空集合S是正則公理的一個反例；就是說S的所有元素都與S有非空交集。
設g是S的選擇函式，就是說對於S的每個非空子集s，g會把s映射到s自身的一個元素。然後，在非負整數上遞歸的定義函式f為如下：
f(0)=g(S)
那么對於每個n，f(n) 是S的一個元素，因此它與S的交集是非空的。
從而f(n+1) 是良好定義的，並且是f(n) 的一個元素。
所以f是一個無限遞降的鏈。
這是一個矛盾，所有這樣S不存在。
4）確使有序對 (a,b) 可定義為 {a,{a,b}}
這個定義消除了有序對的 Kuratowski 規範定義 (a,b) = {{a},{a,b}} 中的一對花括弧。
良基性和超集合
在 1917 年，Dmitry Mirimanoff引入了良基性概念：
一個集合 x0是良基的，若且唯若它沒有無限遞降的集合序列：
在 ZFC 中通過正則公理而沒有無限遞降 ∈序列。實際上，正則公理經常叫做基礎公理，因為可以證明在 ZFC（沒有正則公理的 ZFC）中，良基性蘊涵了正規性。
在一些沒有正則公理的 ZFC 變體中，非良基集合是可以存在的。在這種系統中工作的時候，不必然良基的集合叫做超集合。明顯的，如果A∈A，則A是非良基超集合。
較知名的反基礎公理有三個：
- AFA（反基礎公理）— 由 M. Forti 和 F. Honsell 提出；
- FAFA（Finsler 的 AFA 版本）— 由 P. Finsler 提出；
- SAFA（Scott 的 AFA 版本）— 由Dana Scott提出。
其中第一個的 AFA 是基於Accessible pointed graph（apg），它斷言兩個超集合是相等的，若且唯若它們可被同一個 apg 描繪。在這個框架下，可以證明那定義為Q={Q} 的所謂蒯因原子，是唯一存在的。
值得強調的是，超集合理論是經典集合論的擴展而非替代者：在超集合領域內的良基集合符合經典集合論。可以在新基礎或正集合論（或更一般的說帶有是自身的元素的全集的任何集合論）中找到的非良基種類是非常不同的。
