歐拉運動學方程

歐拉運動學方程

歐拉運動學方程是描述剛體運動微分方程,在剛體繞定點運動中,反映角速度歐拉角關係的方程,該方程在剛體繞定點運動的研究中有重要地位。

基本介紹

  • 中文名:歐拉運動學方程
  • 外文名:Eulerkinematicalequations
  • 所屬學科:數理科學
  • 別名:Euler運動學方程
  • 屬性:描述剛體運動的微分方程
  • 意義:在剛體繞定點運動研究中很重要
基本介紹,方程形式,準慣性系中的表達形式,相關概念,

基本介紹

假定剛體固結參考系
慣性參考系中有旋轉運動,瞬時旋轉角速度
,三個分量記為
本體赤道面
與平均赤道面
有一個交線,從原點
沿上述交線的一方引伸出一個射線,稱之為節線
,節線與
之間的夾角稱為進動角,用
表示;瞬時軸
之間的夾角稱為自轉角,用
表示;
之間的夾角稱為章動角,用
表示。自轉角
、進動角
和章動角
通稱Euler角,是由Euler引進的。三個Euler角可以完全描述任意一個剛體的旋轉運動,原因在於:一個點由三個獨立坐標描述;一個剛體通常需要不在同一條直線上的三個點(共9個坐標)來描述;將其中的一個點選為原點,則只需要2個點即6個坐標來描述;但3個點之間存在3個距離方程,因而獨立的坐標數只有3個;3個Euler角正好構成一組獨立坐標。在事先不知道剛體的旋轉運動規律的前提下,要想確定這種旋轉運動,則需要求解Euler運動學方程和Euler動力學方程。

方程形式

根據三個Euler角的定義不難寫出如下關係:
其中
表示繞地固質心坐標系
軸的旋轉角速度。上式便是著名的Euler運動學方程,即歐拉運動學方程

準慣性系中的表達形式

將旋轉角速度
在準慣性系表示出來:
其中
表示繞地心準慣性坐標系
軸的旋轉角速度。

相關概念

歐拉角
剛體定點運動的自由度為3,如何選擇3個變數,使它們既能簡單、明確、單值地確定剛體位置,又能獨立變化,這對簡化定點運動的描述是非常重要的,剛體力學的奠基者歐拉(Leonhard Euler,1707一1783)成功地、巧妙地解決了這個問題,他選擇3個角度,即著名的歐拉角(Euler angles)作為描述剛體定點運動的變數,具體選擇方法如下:以固定點為原點建立靜正坐標系
,再以固定點為原點建立與剛體固連的動坐標系
如圖1。
歐拉運動學方程
圖1
確定剛體位置等價於確定動坐標的位置,他用兩個角度確定z軸的位置,一個是z軸對
軸的傾角
角,另一個是用來確定z軸的方位,它是
面與平均赤道面
面的交線ON與
軸的夾角,交線ON稱為節線;這兩個角確定後,z軸的位置就確定了,但動坐標系還可以繞z軸轉動,若動坐標的x軸與節線的夾角
確定了,則動坐標的位置完全確定,這樣選取的3個角
稱為歐拉角
這3個角可以獨立變化,即這3個變數是獨立的,從運動學上,它們之間不存在依賴關係(即函式關係),最能說明其獨立性的事實是:當任何一個角自由改變時,其他兩個角可以保持不變,如以下三種情況是可能的。
1. 僅
角改變,保持
不變。這種運動相應於z軸與
軸間夾角不變,z軸在靜止空間中沿圓錐面運動,同時
角也保持不變,這種運動稱為進動(precession),相應的角速度稱為進動角速度,它的大小和方向為
軸的單位矢量。
2. 僅
角改變,保持
,
角不變。剛體的這種運動稱為章動(nutation),相應的角速度為章動角速度,它的大小和方向為,
為沿節線的單位矢量。
3. 僅
角改變,保持
角不變。剛體的這種運動稱為自轉(rotation),相應的角速度為
,稱為自轉角速度,k為z軸的單位矢量。
當3個角同時變化,三種運動同時存在時,剛體的角速度為3個分角速度的合成。

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