歐拉積分

歐拉積分是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler , 1707.4.15~1783.9.18）整理得出的兩類特殊的含參變數的積分。由歐拉積分所定義的函式分別稱為伽馬函式和貝塔函式。它們對於積分的簡便運算有重要的運用。

基本介紹

• 中文名：歐拉積分
• 外文名：Euler integral
• 創始人：萊昂哈德·歐拉
• 性質：兩類含參變數的積分
• 類別：科學定義
• 包含：伽馬函式、貝塔函式

基本信息

含參量積分

這兩類特殊的含參量積分統稱為歐拉積分，其中前者又稱為 函式，後者稱為B函式。

Γ函式

函式表達式

性質

定義域： 函式在s>0時收斂，即定義域為s>0.

連續性：在任何閉區間 (a>0)上一致收斂，所以 在s>0上連續。

可微性： 在是s>0上可導，且

遞推公式：

且當s為正整數時，有

的其他形式：

令 則有

令 則有

B函式

函式表達式

性質

定義域： 的定義域為p>0,q>0。

連續性： 在p>0,q>0內連續。

對稱性：

遞推公式：

的其他形式：

令 則有

令 則有

相互關係

套用

一、求積分

解：設 ，則

再作代換 得

二、載流子濃度的統計分布

在半導體物理中，處於熱平衡（非簡併）條件下的半導體導帶電子濃度 為

式中： 為導帶頂能量； 為導帶底能量； 為載流子有效質量； 為普朗克常數； 為玻爾茲曼常數； 為絕對溫度； 為載流子能級； 為費米能級。

為了計算簡便，引入

代入（1）式得

計算（2）式時，如果 為某一個確定的數值，則無法進行積分求解。如果將x'換成∞，那么，只需求解 就行。根據第二類歐拉積分（Γ-函式）

當 時

套用遞推公式

於是， 可求得。