柱面坐標

在空間直角坐標系中，任給一點P，設r,θ是點P在xOy面上投影點的極坐標，z是點P的豎坐標，則稱(r，θ，z)是點P的柱面坐標，記為P(r,θ,z)，其中r≥0，0≤θ≤2π，-∞<z<+∞ 。

基本介紹

• 中文名：柱面坐標
• 外文名：Cylindrical coordinate
• 類型：數學
• 定義：（ρ，θ，z）為M柱面坐標系

求曲面的柱面坐標方程的方法

求曲面的柱面坐標方程的方法與步驟，和求直角坐標方程類似，就是把曲面看作適合某種條件的點的集合或軌跡，將已知條件用曲面上點的柱面坐標和的關係式表示出來，就得到曲面的柱面坐標方程。

柱坐標的坐標面

特別地，方程表示以為軸的圓柱面；表示過軸的半平面；表示垂直於軸的平面，這三組面兩兩垂直，稱為柱面坐標的坐標面，坐標面的交線稱為坐標線。從圖2可知，空間每一點P總可看作位於某一母線平行於z軸的圓柱面上，並有三條坐標線(過P垂直於z軸的射線、平行於z軸的直線和圓心在z軸且與z軸垂直的圓周)通過，所以把稱為點P的柱面坐標由此而來。

圖2

當(常數)時，坐標面為柱面；

當(常數)時，坐標面為平面；

當(常數)時，坐標面為半平面(見圖3)．

圖3

柱面坐標變換

空間中的任意點P的位置由3個參數給出，其意義如圖2所示，稱為柱面坐標。

從其與空間直角坐標系的關係得變換如下，此變換稱為柱坐標變換。

其中

柱坐標的體積微元

柱坐標的體積微元由6個坐標面圍成。

(1)半平面

(2)圓柱面

(3)平面

由於所以見圖（4）。

圖4

柱坐標的換元公式

如果在V上連續，在變換

其中

下，有則

值得注意的是，當r=0時，上面的公式亦成立．

在計算中，通常找出V在的投影區域D，即

從而得，然後在二重積分中利用極坐標變換即可．

化曲面的普通方程化為柱面坐標方程

設P點的柱面坐標為，點滿足

或

利用上述公式，可以化曲面的普通方程化為柱面坐標方程：

一般來說，如果一個曲面以z軸為對稱軸，並且普通方程中含有那么使用柱面坐標方程表示該曲面，可能會更簡單。

例如，半球面旋轉拋物面錐面化為柱坐標方程分別為。而橢球面的柱面方程為。