《有限群在有限域上的表示和編碼問題》是依託華中師範大學，由樊惲擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限群在有限域上的表示和編碼問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：樊惲
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
研究從編碼理論激發的而又套用於編碼理論的有限群在有限域上的表示的三個問題..* 研究有限域上的群代數(非分裂情形)的冪等元和特徵標, 自由置換模的 Fourier變換及其精確矩陣形式, 推廣矩陣積碼使得擬循環碼完全分解為廣義矩陣積碼, 進一步利用矩陣計算優勢討論擬循環碼..* 有限域上的群代數的特徵標的劃分, 它們與相應的冪等元的關係, 與共軛類劃分的關係; 用於2重和多重adic碼的研究和分類..* 研究有限域上的對稱模, 特殊對稱模類如投射對稱模等; 研究有限域上的Brauer誘導結構, hyperbolic模的局部刻畫; 研究自對偶置換碼的存在性和性質..這些研究以特徵標, 冪等元和Fourier變換為主線索相互關聯, 以循環群, 交換群, 二面體群及有正規循環子群的有限群為主要載體展開; 它們有群表示和編碼的強烈背景和重要意義, 而且, 因為相應代數的非分裂性，具有一定挑戰性.
結題摘要
研究從編碼理論激發的有限群在有限域上的表示的三個問題，解決相應的編碼問題：1. Fourier變換，擬循環碼；2. 特徵標的polyadic劃分，保距自對偶性；3. 誘導定理、雙曲模的局部刻畫。如期執行了項目研究計畫。研究目標基本完成。在研究工作深化的過程中，有新的思想和新的研究目標出現，獲得超預期成果。代表性成果：(1) 隨機擬交換碼的相變性質。做出了關於擬交換碼（包括擬循環碼）的第一個有關相變的結果，相變性質比漸進好性質強得多，後者是前者的一個方面的直接推論。一個後續工作是：創新性地引進了分數指數的擬循環碼，證明了，指數處於1與2之間的擬循環碼也是漸進好碼(2) 常循環碼的polyadic劃分。發展了基於群論思想的一套方法，獲得了常循環碼的Type-I型的polyadic劃分存在的充分必要條件；構造了幾類好碼，描述了它們的一種複雜度很低的解碼辦法。在這套創新性方法基礎上，進一步做了三個工作：Type-II duadic劃分；Galois自對偶碼；保距自對偶循環碼。(3) 雙曲模的局部刻畫。發現了一類特殊的廣義二面體群，利用誘導結構，把雙曲性的判別簡化為這類廣義二面體子群的限制模的雙曲性判別；給出了在特徵標、自對偶碼和Witt等價三個方面的套用。
