有限環、群環上的編碼和相關算法研究

《有限環、群環上的編碼和相關算法研究》是依託華中師範大學，由劉宏偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：有限環、群環上的編碼和相關算法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉宏偉
• 依託單位：華中師範大學

項目摘要

有限環、群環上的編碼及相關算法近二十年來一直是研究熱點；有限環上的線性系統相應於有限環上的一類約束滿足問題（簡稱CSP）；CSP的相變理論為算法提供分析測試平台。本項目利用有限環、有限群的表示理論思想技術及算法漸進分析研究有限環、群環上的編碼、算法的幾個問題。一是有限環、群環上線性碼的檢驗元問題及其編碼解碼算法，以及相關的生成矩陣、檢驗矩陣刻畫；重點之一是具有一個檢驗元的碼的數學結構、碼論性質、編碼解碼算法。二是有限環上的自對偶碼的存在性和構造；特別是有限環上type II的自對偶碼的存在條件和構造，群環上的自對偶置換碼存在條件和碼的結構。三是CSP模型、有限環上線性CSP模型的相變與算法意義；特別是有限環上線性方程組的相變現象及其算法意義、k-CSP模型的推廣和變形。上述幾個研究問題相互啟發、相互聯繫。

結題摘要

本項目利用有限環、有限群的表示理論思想技術及算法漸近分析研究有限環、有限域、群環上的編碼和算法的幾個問題。經過四年的研究，我們在相關研究內容上取得了重要進展，完成了項目預期的研究目標。一、關於有限環、群環上線性碼的檢驗元問題及其編碼解碼算法，以及相關的生成矩陣、檢驗矩陣刻畫的研究。我們給出了任意群代數上的阿貝爾碼(Abelian Codes)及其對偶碼代數結構的一般性刻畫。我們證明了主理想群代數上任意一個阿貝爾碼都有一個生成元和檢驗元，並給出了這類群環碼的對偶碼的精確表達形式。我們研究了主理想群代數上的自對偶、自正交的群環碼的計數問題，給出了相應的計數公式。我們給出了群環上的自對偶置換碼存在性條件和碼的結構。我們獲得了幾類循環碼的本原冪等元，極小Hamming距離及其重量分布。給出了有限域上常循環碼保距同構的充要條件；獲得了一批特定長度的自對偶循環碼和負循環碼的生成多項式及其個數的計數公式。我們刻畫了自正交的循環碼和負循環碼存在性的充要條件；特別地，利用滿足特定條件的常循環碼構造出一批MDS量子碼。我們給出了一類MDS Alternant常循環碼的修正的Berlekamp-Welch解碼算法。二、關於有限環上的自對偶碼的存在性和構造的研究。我們研究了有限域、有限環上的幾類自對偶碼、循環碼和負循環碼的代數結構以及碼的性能。我們研究了有限交換Frobenius環上的矩陣積碼的結構，刻畫了矩陣積碼是自（正交）對偶碼的條件，給出了基於不同度量下的極小距離的下界和上界。我們決定了一類有限交換鏈環上的常循環碼及其對偶碼的代數結構，距離結構和碼的個數，並決定了這類環上的自對偶碼的結構。三、關於CSP模型、有限環上線性CSP模型的相變與算法意義的研究。我們構造了一個新的約束滿足問題模型，d-k-CSP模型，證明了此模型具有精確的可滿足相變現象，由此確定了有限域上隨機線性方程組的可滿足相變點，給出了高斯消去法與相變現象的聯繫。基於項目四年的研究， 項目組成員共發表研究論文35篇，其中SCI論文31篇，EI檢索論文2篇。