有界度量空間

概念介紹

現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函式間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。

度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連線這兩點的直線的長度。

設X為一個集合，一個映射d：X×X→R。若對於任何x,y,z屬於X，有

（I）（正定性）d(x,y)≥0，且d(x,y)=0若且唯若x=y；

（Ⅱ）（對稱性）d(x,y)=d(y,x)；

（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

則稱d為集合X的一個度量（或距離）。稱偶對（X，d）為一個度量空間，或者稱X為一個對於度量d而言的度量空間。

設X為任一非空集合，定義映射d：X×X→R如下

⑴對於X中任意元素x,d(x,x)=0;

⑵如果x,y是X中兩個不同元素，則d(x,y)=1.

則這樣定義的d滿足（I）（Ⅱ）（Ⅲ），是集合X的一個度量。這樣的度量稱為離散度量。

證明：度量空間中收斂序列的極限是唯一的

設{a_n}收斂於a且收斂於b。則對任意u＞0，存在N使得對n＞N有d(a_n,a)＜=d(a_n,a)+d(a_n,b)0，故必有d(a,b)=0，所以a=b

由所有的n元實數組（x1,x2，…，xn）構成集合Rn,Rn中元素x=(x1,x2，…，xn)

與y=(y1,y2，…，yn)之間的距離定義為

其中R表示實數集合。定義元素x=(x1x2，…，xn，…)及y=(y1，y2，…，yn…)之間的距離為

B={(x1,x2，…，xn，…)│（xn∈R,n=1,2，…）}對於兩個不同的元素x=(x1,x2，…，xn，…)及y=(y1,y2，…，yn，…)，用m(x,y）表示滿足xn≠yn的最小標號n，定義x與y之間的距離為：

再規定d(x,x)=0（x∈B）。一般假設Ω是任意一個集合，取X={(x1,x2，…xn，…）|xn∈Ω），可以按同樣的方法定義m(x,y)與d（x,y），得到的度量空間也稱作貝爾空間。

處理分析問題時，根據具體情況需要可以引入種種函式空間。例如，考慮定義於閉區間[0,1]上的一切連續實值函式的集合，就可以定義兩個函式ƒ和g的距離為