完全有界集

完全有界集是指距離空間中的一類子集。度量空間中的列緊集一定是完全有界的，而在完備度量空間中，完全有界性與列緊性等價。

基本介紹

• 中文名：完全有界集
• 外文名：Totally bounded set
• 所屬學科：數學
• 適用範圍：數理科學

定義

完全有界集是指距離空間中的一類子集。

完備度量空間X的某個子集M是相對緊的，若且唯若M在這種意義下是完全有界的：對於每個ε>0，M中都存在有限個點m_1,m_2,……，m_n，使得M的每個點m到m_1,m_2,……，m_n的距離至少有一個小於ε。換句話說，M是完全有界的，如果對於每個ε>0，M都可以被有限個其球心屬於M而半徑小於ε的開球所覆蓋。

性質

1、R中任一有界點集都是完全有界的；

2、距離空間中，完全有界集一定為有界集；

3、距離空間(X,ρ)中的任一列緊集一定是完全有界集。反之，若(X,ρ)是完備的距離空間，則X中任一完全有界集一定是列緊集。

距離空間

度量空間(Metric Space)，在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。

亦稱距離空間。一類特殊的拓撲空間。弗雷歇(Fréchet，M.-R.)將歐幾里得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。

在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。