有序偶

有序偶

在數學中,有序偶是兩個對象的蒐集,使得可以區分出其中一個是“第一個元素”而另一個是“第二個元素”(第一個元素和第二個元素也叫做左投影右投影)。

基本介紹

  • 中文名:有序偶
  • 外文名:ordered couple
  • 定義:兩個對象的蒐集
  • 用途:用來表示二維空間上的點
  • 相關術語:無序偶
  • 套用學科:數學
釋義,一般性,集合論中定義,標準Kuratowski定義,變體定義,性質證明,Quine-Rosser定義,Morse定義,參見,

釋義

在數學中,有序偶是兩個對象的蒐集,使得可以區分出其中一個是“第一個元素”而另一個是“第二個元素”(第一個元素和第二個元素也叫做左投影右投影)。帶有第一個元素a和第二個元素b有序偶通常寫為(a,b)。
符號(a,b)也表示在實數軸上的開區間;在有歧義的場合可使用符號

一般性

設(a1,b1)和(a2,b2)是兩個有序偶。則有序偶的特徵或定義性質為:
有序偶可以有其他有序對作為投影。所以有序偶使得能夠遞歸定義有序n-元組(n項的列表)。例如,有序三元組 (a,b,c)可以定義為(a, (b,c)),一個對嵌入了另一個對。這種方法也反映在計算機程式語言中,就是從嵌套的有序對構造元素的列表。例如,列表 (1 2 3 4 5)變成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp程式語言使用這種列表作為基本數據結構。
有序偶的概念對於定義笛卡爾積和關係是至關重要的。

集合論中定義

諾伯特·維納在1914年提議了有序偶的第一個集合論定義:
他注意到這個定義將允許《數學原理》中所有類型只透過集合便能表達。

標準Kuratowski定義

公理化集合論中,有序偶(a,b)通常定義為庫拉托夫斯基對:
陳述“x是有序對p的第一個元素”可以公式化為
而陳述“xp的第二個元素”為
注意這個定義對於有序偶p= (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的;在這種情況下陳述(∀Y1p, ∀Y2p:Y1Y2→ (xY1xY2))顯然是真的,因為不會有Y1Y2的情況。

變體定義

上述有序偶的定義是“充足”的,在它滿足有序偶必須有的特徵性質(也就是:如果(a,b)=(x,y)則a=xb=y)的意義上,但也是任意性的,因為有很多其他定義也是不更加複雜並且也是充足的。例如下列可能的定義
  1. (a,b)reverse:= { {b}, {a,b} }
  2. (a,b)short:= {a, {a,b} }
  3. (a,b)01:= { {0,a}, {1,b} }
“逆”(reverse)對基本不使用,因為它比通用的Kuratowski對沒有明顯的優點(或缺點)。“短”(short)對有一個缺點,它的特徵性質的證明會比Kuratowski對的證明更加複雜(要使用正規公理);此外,因為在集合論中數2有時定義為集合{ 0, 1 } = { {}, {0} },這將意味著2是對 (0,0)short

性質證明

Kuratowski對: 證明:(a,b)K= (c,d)K若且唯若a=cb=d
僅當:
如果a=b,則 (a,b)K= {{a}, {a,a}} = { {a} },且 (c,d)K= {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d},或c=d=a=b
如果ab,則{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。
如果{c,d} = {a},則c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但這樣{{a}, {a, b}}就會等於{{a}},繼而b = a,跟先前的假設矛盾。
如果{c} = {a,b},則a=b=c,這矛盾於ab。所以{c} = {a},即c=a,且{c,d} = {a,b}。
並且如果d=a,則{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b
所以同樣有a=cb=d
當:
反過來,如果a=c並且b=d,則顯然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)K= (c,d)K
對: (a,b)reverse= {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)K
如果 (a,b)reverse= (c,d)reverse,則 (b,a)K= (d,c)K。所以b=da=c
反過來,如果a=cb=d,則顯然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)reverse= (c,d)reverse

Quine-Rosser定義

Rosser(1953年)擴展了蒯因有序偶定義。Quine-Rosser的定義要求自然數的先決定義。設N是自然數的集合,
是N在x內的相對差集,並定義:
φ(x)包含在x中所有自然數的後繼,和x中的所有非數成員。特別是,φ(x)不包含數0,所以對於任何集合AB
以下是有序對 (A,B)的定義:
提取這個對中那些不包含0的所有元素,然後再還原
的作用,就得出了A。類似的,B可以通過提取這個對的包含0的所有元素來復原。
有序偶的這個定義有個顯著的優點。在類型論和從類型論派生出的集合論如新基礎中,這個對與它的投影有相同的類型(所以術語叫做“類型齊平”有序對)。因此一個函式(定義為有序偶的集合),有隻比序對的投影的類型高1的類型。

Morse定義

Morse(1965年)提出的Morse-Kelley集合論可以自由的使用真類。Morse定義有序對的方法,使得它的投影可以是真類或者集合。(Kuratowski定義不允許這樣)。它首先像Kuratowski的方式那樣,定義投影為集合的有序偶。接著,他重定義對 (x,y)為
這裡的笛卡爾積是指由Kuratowski對組成的集合併且
這便允許了定義以真類為投影的有序偶

參見

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