基本介紹
- 中文名：有向群
- 外文名：directed group
- 領域：代數
- 本質：偏序群
- 實例：任意格群
- 偏序群條件：偏序集是有向集
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概念
有向群(directed group)是一類特殊的偏序群。設G是偏序群，若G具有性質：對任意a，b∈G，存在c∈G，使得：
a≤c， b≤c，
則稱G為有向群。偏序群是有向群，若且唯若它作為偏序集是有向集。任意格群都是有向群。
群
一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
偏序集
偏序集是特定的集。它是一類主要的序關係集。具體地說，集合E連同其上的偏序R構成的關係集(E，R)，一般記為P=(E，≤)。所謂偏序(或序關係)是一類具有自反性、反對稱性和傳遞性的二元關係。例如，數之間的不大於關係，自然數之間的整除關係，集合之間的包容關係等。把集合E的基數稱為偏序集P的階。階為有限值的偏序集稱為有限偏序集。而在P上，對於任意元素x，y，區間[x，y]均為有限偏序集時，稱P為局部有限偏序集.這兩類偏序集是組合理論中的主要研究對象.偏序集上所有鏈的長度的最小上界，或上確界，稱為偏序集的長度，記為l(P)。偏序集中最大反鏈包含的元素數目，稱為偏序集的寬度，記w(p)。對於以圖1所示為哈塞圖的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2.偏序集的子關係集仍為偏序集，而且必有全序集作為其子關係集。
圖1:偏序集
設A是一個集合，若在A記憶體在一個關係“≤”，它滿足：
①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；
②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；
③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。
則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。
如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。
在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集.記作(A，≤)。
由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。
例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。
再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是說，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。
偏序群
偏序群亦稱半序群。一種具有序結構的群。自從第二次世界大戰以後，隨著伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)、羅倫岑(Lorenzen，P.)等人的基礎文章的發表，格序群成為一門學科。康萊德(Conrad，P.)於1960年發表的文章中提供了利用凸子群來研究格序群類結構的工具。這個方法特別成功的例子是他的學生哈韋(Harvey，J.)、赫蘭(Holland，W.C.)將哈恩(Hahn，H.)關於可換格序群的嵌入定理推廣到一般的格序群。設(G，+，0)是群，若G又是偏序集，且偏序≤對加法是相容的，即對任意x，y，a，b∈G，由x≤y得a+x+b≤a+y+b，則稱G為偏序群。偏序群的任意子群關於此偏序群的偏序是一個偏序群。例如，若X是拓撲空間，C(X)為X上所有實值連續函式加群，對任意f，g∈C(X)，定義f≤g若且唯若對任意x∈X，f(x)≤g(x)，則C(X)是一個偏序群。
格序群
亦稱格群或l群。一種具有格序關係的群。若偏序群G作為偏序集是格，則稱G為格序群。格群是分配格。設G既是群又是格，則G是格序群若且唯若對任意a，b，x，y∈G，滿足：
a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b)，
a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b).
除去平凡的格群外 ，沒有有限格群。
