有向平面

有向平面(directed plane)是一種規定了方向的平面。給平面的垂線規定一個正向，且平面的所有垂線的正向都指向平面的同側，這種規定了垂線正向的平面稱為有向平面。一個有向平面有兩個方向，如指定平面連同它的垂線方向為平面的正向，那么平面連同它的垂線的負向為平面的負向。兩個平面平行或重合時，它們有共同的垂線，這時稱這兩個平面共向。兩個平面相交時有不同的方向，不共向。

基本介紹

• 中文名：有向平面
• 外文名：directed plane
• 解釋：一種規定了方向的平面
• 所屬學科：數學(立體幾何)

法方程矢式

設為平面上一個已知點，為上任意點，n為的一個法矢(此時成為有向平面)，因和n垂直，的矢方程可以寫成

若取平行於n的一個麼矢n₀代替n，則得

這個方程叫做有向平面的法方程，取 代也得的一個法方程，不過有向平面的正負側顛倒了。

若為的方向餘弦，和的直角坐標依次是和，則(2)寫成坐標式為

其中。

法方程中係數的幾何意義

圖2（1）

圖2（2）

變數係數為有向平面的麼法矢的分量或法矢的方向餘弦已如上述，現在再看(3)的右邊常數項p的幾何意義。因為在上的投影代數長，就是原點與間的距離，令當原點在上時，p=0；當原點在的負側時，(參看圖2(1))；當原點在的正側時， (參看圖2(2))。因此，p是到原點的有向距離DO（平面和點P之間的距離若是|DP|，D是P在上的垂足，則有向距離為DP，當與n同向，DP>0，反向則DP<0），是和原點間的距離。不難看出，選擇的麼法矢為之一就是選擇的正側，習慣上這樣選擇的正向，使原點在的負側，其目的使p總大於0。