最簡反三角方程

最簡反三角方程(simplest inverse trigonometric equation)指含有未知角的主值的反三角方程。若f(x)是一個主值反三角函式，則f(x)=m(m∈R)稱為最簡反三角方程。如arcsin x=a，arccos x=a，arctan x=a，arccot x=a，arcsec x=a，arccsc x=a都是最簡反三角方程。

基本介紹

• 中文名：最簡反三角方程
• 外文名：simplest inverse trigonometric equation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：代數與初等函式 
• 簡介：含有未知角的主值的反三角方程

基本介紹

最簡反三角方程即方程arcsin x=a，arccos x=a，arctan x=a，arccot x=a，arcsec x=a，arccsc x=a，其中α是已知數。反三角方程指在反三角函式記號後含有未知數的方程(一般只討論單值反三角函式方程)，反三角方程多數不能用初等方法求解，能用初等方法求解的僅限於一些簡單的反三角方程，其解法通常是將方程兩邊同取某一三角函式，使之化成代數方程來求解，由於反三角函式有值域的限制，所以，反三角方程兩邊的角應屬同一區間，否則這樣的反三角方程無解，解反三角方程時，在方程變形的過程中，若使用了非同解變形的方法，就有可能增根或失根，所以都要驗根。

最簡反三角方程的解

最簡反三角方程的解列表如下：

表1 最簡反三角方程的解

反三角方程	相應反三角函式的主值區間	a的取值域	反三角方程的解集
arcsin x=a	[-π/2,π/2]	|a|≤π/2	x=sin a
		|a|﹥π/2	∅
arccos x=a	[0,π]	0≤a≤π	x=cos a
		a<0與a﹥π	∅
arctan x=a	(-π/2,π/2)	|a|﹤π/2	x=tan a
		|a|≥π/2	∅
arccot x=a	(0,π)	0﹤a﹤π	x=cot a
		a≤0與a≥π	∅
arcsec x=a	[0,π/2)與(π/2,π]	0≤a﹤π/2或π/2﹤a≤π	x=sec a
		a﹤0,a=π/2,a﹥π	∅
arccsc x=a	(0,π/2]與[-π/2,0)	0﹤a﹤π/2或-π/2≤a﹤0	x=csc a
		a﹤-π/2,a=0,a﹥π/2	∅

反三角恆等式

反三角恆等式：

arcsin（-x）=-arcsin x，（|x|≤1）；

arccos（-x）=π-arccos x，（|x|≤1）；

arctg（-x）=-arctg x；

arcctg（-x）=π-arcctg x；

arcsin x+arccos x=π/2，（|x|≤1）；

arctg x+arcctg x=π/2，

若x>0，則

arctg x=arcctg (1/x)，arcctg x=arctg (1/x)，

若arctg x+arctg y∈(-π/2,π/2)，則

arctg x+arctg y=arctg ((x+y)/(1-xy))。