最小作用原理:費馬的表述,莫佩爾蒂的表述,折射理論,非彈性碰撞,參閱,

在物理學里，最小作用原理，即最小作用量原理（英語：least action principle），或更精確地，平穩作用量原理（英語：stationary action principle），是一種變分原理，當套用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母[1]。

在現代物理學裡，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論里，都有廣泛的用途。在現代數學裡，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關於數學描述、推導和實用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密頓原理。

在最小作用量原理之前，有很多類似的點子出現於測量學和光學。古埃及的拉繩測量者（rope stretcher）在測量兩點之間的距離時，會將固定於這兩點的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值[2]。托勒密在他的著作《地理學指南》（Geographia）第一冊第二章里強調，測量者必須對於直線路線的誤差做出適當的修正。古希臘數學家歐幾里得在《反射光學》（Catoptrica）里表明，將光線照射於鏡子，則光線的反射路徑的入射角等於反射角。稍後，亞歷山大的希羅證明這路徑的長度是最短的[3]。

基本介紹

中文名：最小作用原理
外文名：least action principle
類型：描述客觀事物規律的一種方法
套用：現代物理學

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費馬的表述

1662年，皮埃爾·德·費馬提出費馬原理，又稱為“最短時間原理”：光線移動的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的版本應是“平穩時間原理”。對於某些狀況，光線移動的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

假設，介質1、介質2的折射率分別為

、

，光線從介質1在點O移動進入介質2，則斯涅爾定律以方程表達為

其中，

為入射角，

為折射角。

從費馬原理，可以推導出斯涅爾定律。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到“平穩路徑”，這就是光線移動的路徑。光線在介質1與介質2的速度分別為

其中，

是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率

和

都大於

。

如右圖所示，從點Q到點P的移動時間

為

根據費馬原理，光線移動的路徑是所需時間為極值的路徑，取移動時間

對變數

的導數，設定其為零：

由圖中的邊角關係，可以得到移動速度與折射角的關係式：

將移動速度與折射率的關係式代入，就會得到斯涅爾定律：

費馬原理引發了極大的爭議。假若介質的密度越小，光線的移動速度越快，則費馬原理是正確的；但是，艾薩克·牛頓和勒內·笛卡兒都認為介質的密度越大，光線的移動速度就越快。1802年，托馬斯·楊做實驗發現，當光波從較低密度介質移動進入較高密度介質之後，光波的波長會變短，他因此推論光波的運動速度會降低。

莫佩爾蒂的表述

最小作用量原理套用於作用量的最初始表述，時常歸功於皮埃爾·莫佩爾蒂。於1744年和1746年，他寫出一些關於這方面的論文。但是，史學專家指出，這優先聲明並不明確。萊昂哈德·歐拉在他的1744年論文裡就已談到這原理。還有一些考據顯示出，在1705年，戈特弗里德·萊布尼茨就已經發現這原理了。

莫佩爾蒂發表的最小作用量原理闡明，對於所有的自然現象，作用量趨向於最小值。他定義一個運動中的物體的作用量為

，物體質量

、移動速度

與移動距離

的乘積：

莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點來論述，最小作用量好像是一種經濟原理。在經濟學里，大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是，並沒有任何理由，能夠解釋，為什麼作用量趨向最小值，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎樣解釋最大作用量呢？

折射理論

於1744年，在巴黎科學院發表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》中，莫佩爾蒂提出，光折射的路徑，從一種介質到另一種介質，是作用量的最小值。按照這論點，如前圖，假設光線從折射率為

的介質1折射於折射率為

介質2，則作用量為

其中，

是光線的質量。雖然光線並沒有質量，這變數對於結果沒有任何影響，可以被忽略。

取作用量對於變數{\displaystyle x}的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

請注意，這結果與牛頓的光粒子理論相符合；但是，與費馬得到的結果南轅北轍，大不相同。

非彈性碰撞

1747年，莫佩爾蒂在伯林科學院（Academy of Berlin）發表了論文《運動與靜止定律》。在這篇論文裡，他將碰撞分為兩種，彈性碰撞與非彈性碰撞。彈性碰撞遵守動量守恆和能量守恆；非彈性碰撞只遵守動量守恆。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理套用於彈性碰撞與非彈性碰撞，正確地計算出碰撞後的物體的速度。

思考一個一維非彈性碰撞，假設兩個質量分別為