旋轉對稱圖形

旋轉對稱圖形

旋轉對稱圖形:把一個平面圖形繞著平面上一個定點旋轉α(弧度)後,與初始圖形重合,這種圖形叫做旋轉對稱圖形,這個定點叫做旋轉對稱中心,旋轉的角度叫做旋轉角。( 0°< α<360°)。

基本介紹

定義,性質,判定,性質,特殊例子,

定義

一個平面圖形L繞平面上某點O旋轉α(0<α<360)後得到的新圖形L*如果與L完全重合,則稱L平面旋轉對稱圖形,並稱L具有旋轉對稱性。稱點O為平面旋轉圖形L旋轉中心,稱α為平面旋轉圖形L旋轉角

性質

1.如果α是平面旋轉圖形L旋轉角,那么α的正整數倍nα(0<nα<360也一定是平面旋轉圖形L旋轉角
通常被稱為平面旋轉圖形L的旋轉角α是指最小旋轉角,即對於任何一個在0到α之間的角度β都不是這個平面旋轉圖形L的旋轉角。
圓是旋轉對稱圖形中唯一沒有確定正實數值α(0<α<360)為其旋轉角的旋轉對稱圖形。
2.如果平面旋轉圖形L的不是圓,α是平面旋轉圖形L的旋轉角,那么α/360必是小於1的正有理數R
如果這裡的可以表示為既約分數m/n,則β=α/m=2π/n是平面旋轉圖形L的指最小旋轉角。

判定

(1)若函式f(θ)(θ∈R)滿足f(θ+α)=f(θ)(0<α<360),則極坐標系中曲線L:ρ=f(θ)是旋轉對稱圖形,α是平面旋轉圖形L的旋轉角。
旋轉對稱圖形
(2)若函式f(θ)(θ∈R)滿足f(θ+α)=﹣f(θ)(0<α<π),則極坐標系中曲線L:ρ=f(θ)是旋轉對稱圖形,2α是平面旋轉圖形L的旋轉角。
例如:當f(θ)=sin3θ(θ∈R)滿足f(θ+π/3)=﹣f(θ)。極坐標系中曲線L:ρ=sin3θ是以2π/3為旋轉角的旋轉對稱圖形(三葉玫瑰線)。
定義(2)中的旋轉角2α未必是平面旋轉圖形L的最小旋轉角,例如:當f(θ)=sin2θ(θ∈R)滿足f(θ+π/2)=﹣f(θ)。極坐標系中曲線L:ρ=sin2θ是以π為旋轉角的旋轉對稱圖形,但是實際上π/2才是平面旋轉圖形L(四葉玫瑰線)的最小旋轉角。
旋轉對稱圖形
以上判定條件均是充分條件。

性質

(1)所有的中心對稱圖形都是旋轉對稱圖形。例如:線段、正2n邊形、平行四邊形、圓都是旋轉對稱圖形。
中華台北奧林匹克委員會會標中華台北奧林匹克委員會會標
常見的旋轉對稱圖形有:線段、正多邊形、平行四邊形、圓 等。
(2)有兩條(或更多)相交對稱軸的軸對稱圖形都是旋轉對稱圖形。例: 正n邊形(最小旋轉角為360/n)、圓、五角星(最小旋轉角為360/5即72)、中華台北奧林匹克委員會梅花圖案徽標的輪廓等。

特殊例子

香港特別行政區區徽紫荊花圖案是一個以72°為旋轉角的旋轉對稱圖形,但她既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形。
中華人民共和國香港特別行政區區徽中華人民共和國香港特別行政區區徽

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們