正五邊形

五條長度相等的線段，首尾相連構成的一個封閉形狀且內角相等的平面圖形叫正五邊形。正五邊形每個角均為108°，每條邊長度相等。正五邊形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形。

基本介紹

• 中文名：正五邊形
• 外文名：regular pentagon
• 組成：五條長度相等的線段
• 構成：首尾相連構成
• 特點：封閉形狀且內角相等
• 類型：平面圖形
• 每個角：為108°

定義

正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五邊形，其內角為108度，是一種正多邊形，在施萊夫利符號中可以用 來表示。

正五邊形的中心角為72度，其具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有5個階（72°、144°、216° 和 288°）。

高 邊長 邊長

寬 邊長 邊長

對角線長

其中R為外接圓半徑。

邊長為t的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算：

正五邊形不能鑲嵌平面，因為其內角是108°，不能整除360°。截至2015年，已知有15種凸五邊形鑲嵌平面，還未知道是否尚有其他的凸五邊形。

面積公式推導

正多邊形的面積公式為：

其中，P是周長、r是邊心距。正五邊形的P和r可由三角函式計算：

其中，t是正五邊形的邊長。

內切圓半徑

正五邊形是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以尤其邊長來決定。

其中，r為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。

構造

里奇蒙提出了一個構造正五邊形的方法，並且在克倫威爾的《多面體》中被近一步討論。。

先利用單位圓決定五邊形的半徑。C為單位圓圓心，M是圓C半徑的中點。D是位於垂直於MC的另外一條半徑的圓周上。作角CMD的角平分線，令Q為角CMD的角平分線與CD的交點。作過Q平行於MC的直線，令之與圓C相交的交點為P，則DP為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形DCM和QCM。利用勾股定理，較大的三角形斜邊為。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

其中，角ϕ可由大三角形求得，其值為：

由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長a可藉由再帶一次勾股定理得：

欲求出五邊形邊長s可透過左側的三角形，由勾股定理得：

使用圓規與直尺建構出正五邊形。

五邊形邊長s為：

得到了正確的結果因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

約前300年，歐幾里得在他的《幾何原本》中描述了一個用直尺和圓規做出正五邊形的過程。

物理方法

正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結，並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。

畫法

常規畫法

(1)已知邊長作正五邊形的近似畫法

①作線段AB等於定長l，並分別以A,B為圓心，已知長l為半徑畫弧與AB的中垂線交於K。

②取AB的2/3長度，沿著中垂線向上取C點，使CK=2/3AB。

③以點C為圓心，已知邊長AB為半徑畫弧，分別與前兩弧相交於M，N。

④順次連線A，B，N，C，M各點即近似作得所要求的正五邊形。

(2)民間口訣畫正五邊形

口訣介紹：“九五頂五九,八五兩邊分”。

畫法:

①畫線段AB=20mm。

②作線段AB的垂直平分線l，垂足為G。

③在l上連續截取GH，HD，使 GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。

④過H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。

⑤連結DE，EA，AB，BC，CD。

五邊形ABCDE就是邊長為20mm的近似正五邊形。

尺規作圖畫法

理論依據：cos36°=(1+√5)/4

圖1.正五邊形-幾何畫板

1. 在平面內作一圓，圓心為O；
2. 在圓O上取一點A，連線AO並延長交圓O於另一點B；【假令|AB|=4】
3. 過點O作CD⊥AB，交圓O於C、D兩點；【此時|CD|=4】
4. 作OB垂直平分線MN，交OB於E點，交圓O於M，N【此時|OE|=|BE|=1】
5. 以點E為圓心，EC長為半徑作弧，交BO延長線於點F；
【此時|EC|=|EF|=√5】
6. 以點B為圓心，BF長為半徑作弧，交圓O分別於G、H兩點；【此時|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】
【此時可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=cos36°】
【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直徑所對的圓周角)】
【此時便得到了圓周上的五等分點的其中兩個】
7. 以點G為圓心，GA長為半徑作弧，交圓O於P點；
8. 以點H為圓心，HA長為半徑作弧，交圓O於Q點；
9. 連線AG、GP、PQ、QH、HA,則五邊形AGPQH為正五邊形。

圓內接五邊形

定義與性質

圓內接正五邊形指內接於圓的正五邊形。圓內接正五邊形的每一條邊相等（即圓的每一條弦相等），每個角均為108°，每個角在圓內所對的優弧相等。

內角和求法

因為五邊形的內角和可看為3個三角形的內角和，所以，3×180°=540°

內角求法

據上一條“正五邊形的內角和求法”可知道，正五邊形的內角和為540°。

往下拓展：因為正五邊形的五個角均相等，且五邊形的內角和為540°；

所以正五邊形的每個內角均為540°÷5=108°