施瓦茲公式

施瓦茲公式是解析函式的實部在圓周上的值確定解析函式在圓內的值的重要公式。

基本介紹

• 中文名：施瓦茲公式
• 外文名：Schwarz formula
• 適用範圍：數理科學

定義

施瓦茲公式是解析函式的實部在圓周上的值確定解析函式在圓內的值的重要公式。

設函式f(z)=u(z)+iv(z)在|z|<R內解析，在|z|<R上連續，則對於任意的z:|z|<R，有

這個表達式稱為施瓦茲公式。

套用

利用解析函式的冪級數展開可以得到圓內調和函式被其對應的解析函式在圓周上的值進行積分表示的施瓦茲公式以及被其在圓周上的值進行積分表示的波阿松公式。此外還得到了解析函式的唯一性定理及零點的孤立性定理，這些也是解析函式所特有的性質。

解析函式

解析函式是區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函式Φ(x,y)與流函式Ψ(x,y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x,y)+iΨ(x,y)是可微函式，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函式，後人又把它們稱為全純函式、解析函式。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。