施坦貝格群

代數K理論20世紀60年代發展起來的一個代數學分支。它的起源可追溯到1958年格羅騰迪克(Grothendieck，A.)關於廣義黎曼-羅赫定理的研究。這個學科的第一本專著是1968年由巴斯(Bass，H.)完成的。

施坦貝格群ST(R)(Steinberg group ST(R))是代數K理論中的一個重要的群。由初等矩陣的部分運算規律定義的一種群，由施坦貝格群可定義K2群。

基本介紹

  • 中文名：施坦貝格群
  • 外文名：Steinberg group
  • 領域：代數
  • 理論：代數K理論
  • 定義來源：初等矩陣的部分運算規律
  • 推廣：K2群
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概念

施坦貝格群ST(R)(Steinberg group ST(R))是代數K理論中的一個重要的群。由初等矩陣的部分運算規律定義的一種群，由施坦貝格群可定義K2群。設R為環，ST(R)為由{Xij(a)|i≠j，a∈R，i，j=1，2，…}按下述關係定義的乘法群：
稱ST(R)為環R的施坦貝格群。此群與K2群有密切關係，同時本身也有一定的重要性。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

環

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一.設F是Ω上的一個非空集類.如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環.例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：
的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

代數K理論

代數K理論20世紀60年代發展起來的一個代數學分支。它的起源可追溯到1958年格羅騰迪克(Grothendieck，A.)關於廣義黎曼-羅赫定理的研究。這個學科的第一本專著是1968年由巴斯(Bass，H.)完成的。
代數K理論主要研究環範疇到阿貝爾群範疇的一系列函子K0，K1，K2，…的性質與作用，其中最基本的是K0與K1。代數K理論與幾何拓撲、拓撲K理論、代數幾何、典型群、代數數論等學科都有著密切的聯繫。在一定的意義上來說，它又是線性代數中空間的維數、行列式以及同調代數的更高層次的發展。
代數K理論主要介紹K0，K1，K2函子及相關的內容。對Ki，i≥3，現在已有多種定義，其中最著名的是奎倫(Quillen，D.G.)於1970年定義的Ki。更進一步地，對i為任意整數，研究函子Ki。這些內容可查閱有關文獻。下面，凡提到模(即環模)均指左環模。塞爾(Serre，J.P.)於1955年證明：一個仿射簇上的向量叢範疇與這個仿射簇之坐標環上的有限生成投射模範疇等價。斯萬(Swan，R.G.)於1962年又將此結果推廣到緊緻的豪斯多夫(Hausdorff，F.)空間，從而給出了拓撲K理論與代數K理論的一個緊密的聯繫，大大推動了代數K理論的發展。
代數K理論在幾何學領域有兩個不同的起源。第一個是與拓撲學中的困難問題相關的。起點是引進懷特海撓率，這項工作始於20世紀40年代。另一個起源與拓撲K理論一樣，也是開始於格羅唐迪克在1957年給出的廣義黎曼—羅赫定理的證明。美國數學家巴斯1964年研究格羅唐迪克引用的K群的構造，由此開創了代數K理論的研究。其著作《代數K理論》(1968)的問世標誌著代數學的這個新分支的誕生。巴斯引進了K1，並與他人合作廣泛地研究K0和K1。K2是米爾諾引進的，而高階K理論是由奎倫和其他人從各種不同觀點構造的。奎倫首先解決了代數K理論中的亞當斯猜想(1970)，之後又得到K理論中塞爾猜想的證明(1976)，並開始將代數歸結為拓撲，形成代數K理論的基礎。代數K理論產生之後，立即套用於環論、同調代數、範疇論與線性群的理論。

推廣——K2群

K2群(K2-group)代數K理論中的一類重要的群。它是施坦貝格群的中心。設R為環，由φ(Xij(a))=eij定義群的滿同態φ：ST(R)→E(R)，其中eij表(i，j)位置a的初等矩陣，稱此同態的核ker φ為R的K2群，記為K2(R)。它是刻畫形式上由初等矩陣的部分運算規律定義的ST(R)與初等矩陣群的差距的一個群。這個群是由米爾諾(Milnor，W.J.)定義的.ST(R)的中心C(ST(R))正是K2(R)，因此，K2(R)是一個阿貝爾群。從群論的觀點看，上述的同態φ為E(R)的泛中心擴張，從而K2(R)為E(R)的泛中心擴張的核，並且K2(R)是E(R)關於Z的第二個同調群。

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