斯科特域

在數學領域序理論和域理論中，斯科特域（Scott domain）是代數的有界完全的完全偏序。

基本介紹

• 中文名：斯科特域
• 外文名：Scott domain
• 得名於：達納·斯科特
• 學科：數理科學

概述

在數學領域序理論和域理論中，斯科特域（Scott domain）是代數的有界完全的完全偏序。

它得名於達納·斯科特，他首先在域理論中研究了這些結構。

斯科特域密切關係於代數格，不同之處只是缺乏最大元。

形式定義

形式的說，偏序集合(D, ≤) 叫做斯科特域，如果下列成立:

• D是有向完全的，就是說，所有D的有向子集都有上確界。
  
• D是有界完全的，就是說，有某個上界的D的所有子集都有上確界。
  
• D是代數的，就是說，D的所有元素可以獲得為D的緊緻元素的有向集合的上確界。
  

性質

因為空集當然有上界，我們從有界完全性得出最小元(空界的上確界)的存在性。

還要注意儘管術語 "斯科特域"廣泛的用於這個定義，術語"域"沒有一般性意義: 它可以用於稱呼在域理論中的很多結構並通常在使用前作出解釋。但是，"域"確實是 斯科特自己最初用於這些結構的。此外，在某些出版物中 斯科特域常以其他名字如"代數半格"出現。

應當記住有界完全的性質等價於所有非空下確界的存在性。周知所有下確界的存在性蘊涵了所有上確界的存在性，並因此使偏序集合成為完全格。因此，當頂元素(空集的下確界)被連線(adjoin)到 斯科特域，可以得出:

1. 新頂元素是緊緻的(因為次序以前是有向完全的)，
   
2. 結果的偏序集合將是代數格。
   

反過來，斯科特域在一定意義上"幾乎"就是代數格。

斯科特域密切相關於斯科特信息系統，它組成了斯科特域的"語法"表示。

例子

• 所有有限偏序集合是有向完全和代數的。因此任何有界完全有限偏序集合很平常的就是斯科特域。
  
• 自然數集帶補充的頂元素 ω 構成了代數格，因此也是斯科特域。在此方面的更多例子請參見代數格。
  
• 考慮在字母表 {0,1} 的所有有限和無限的字的集合，按在字上的前綴序排序。所以，字w小於某個字v，如果w是v的一個前綴，就是說，如果有某個(有限或無限) 字v'使得wv'=v。
  例如 10 ≤ 10110。空字是這個次序的底元素，而容易看出所有有向集合(總是鏈)有上確界。類似的，你可以立即驗證有界完全性。但是，結果的偏序集合當然缺乏頂元素而有很多極大元素(如 111... or 000...)。它也是代數的，因為所有有限字是緊緻的，當然可以從有限字的鏈逼近無限字。因此這是斯科特域而不是代數格。
  
• 作為反例，考慮在區間 [0,1] 內的實數，按自然次序排序。這個有界完全 cpo 不是代數的，實際上它只有一個緊緻元素 0。