斯圖姆一劉維爾邊值問題

斯圖姆一劉維爾邊值問題(Sturm-Liouville bo-undary value problem)最基本而重要的一類微分方程特徵值問題.二階微分方程的特徵值問題。

斯圖姆一劉維爾邊值問題(Sturm-Liouville bo-

undary value problem)最基本而重要的一類微分

方程特徵值問題.二階微分方程的特徵值問題

(1)

稱為斯圖姆一劉維爾問題，其中p(t)>O,q(t)為

}a,b]上的實值連續函式，久為復常數，a,月為給定的

實常數。對斯圖姆一劉維爾問題(1)，以下結論成立:

1.特徵值(也稱點譜)組成一個無界的序列

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2.對應於幾，的特徵函式}pn<t)在(<a,b)中恰好有

n個零點，而且在}pn ( t)的兩個相鄰零點之間存在

}P-} (t)的一個零點·

3 . opn (t ) }在巨 ,司上組成一個正交函式系，即

4.若幾不是特徵值，則存在連續函式

使得

為非齊次邊值問題

(2)

的惟一解，而且對實數},G(t, r,勸為實值函式.

5.如久-Art,A。僅對應一個特徵函式Tn，且h(t)

為[a,司上的可積函式，則邊值問題((2)有解的充分

必要條件為

此時，若y (t)是(2)的解，則y(t)+c}p(t)也是(2)的

解，而且所有的解均可表為這一形式.

6.如果特徵函式}n(t)已規範化，即滿足

則},(t),}p,(t)>…構成LZ(a,b)空間中的一個規範的

完備正交序列，即如h(t) ELz(a,b)，則h (t)有傅里

葉展開式

其中，

並且