整數加法群

整數加法群(additive group of integers)亦稱整數加群，是一種具體的群，指全體整數在通常的加法運算下所成的群，常用Z表示整數加法群。同樣地，所有有理數Q，實數R以及複數C對於通常的加法運算所成的群，分別稱為有理數加法群、實數加法群和複數加法群。

基本介紹

• 中文名：整數加法群
• 外文名：additive group of integers
• 別稱：整數加群
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：群論基礎
• 相關概念：循環群，群公理，交換群等

基本介紹

整數及整數上的加法運算構成了群（有的書籍寫做），稱之為整數加法群。其中0是群的單位元，每一個元素的逆元是它的相反數。

整數與整數上的乘法運算不能構成群，因為除了元素1和-1外，所有元素都不存在逆元。類似地，都是群，而都不是群，因為元素0沒有逆元。都是群，兩個群的單位元均為1，元素的逆元是該元素的倒數。

整數加法群，是由整數Z和整數加法運算+組成。其單位元0；

封閉性：；

結合律：；

逆元：。

相關性質

① 子群設G是群，，若H具封閉性、單位元、逆元，稱H是G的一個子群，記號。換句話說，若，則H是G的一個子群。作為群公理之一的結合律，因為H繼承了G的運算，所以自然成立，因此，子群也是群。

考慮整數加法群，自然可以想到，在偶整數上做加法可以成群，如0+2=2，2+4=6…定義為整數上的所有偶數，則是的子群。

事實上，對任意整數b，定義，則是的子群。

整數加法群是的子群。

②循環群 設g是群G中一個取定的元素，若群G的任意一個元素可以寫成的形式，則稱G循環群，稱g為群G的一個生成元，可寫成。

循環群(cyclic group)是一種重要的群，即由一個元素生成的群。循環群分為兩類：一類是有限循環群，n個元的有限循環群與模n的剩餘類加群同構；另一類是無限循環群，它與整數加法群同構，循環群是特殊的阿貝爾群，循環群的子群和商群仍是循環群。

整數加法群中，任意元素a都可以表示成1或-1的冪，因此是循環群。

在整數加法群上做一些小修改可以做出另一個有意思的循環群，其中，同餘加法定義為。在這裡，也就是說(n個1相加模n餘0)。所以，是n階循環群。

③交換群 具有交換性的群稱為交換群。交換性：。

整數加法群是交換群，因為整數加法滿足交換律。一般線性群由所有的可逆矩陣和矩陣乘法組成，它不是交換群，因為矩陣乘法不滿足交換律。

④在整數加法群中，0的周期是1，除0以外的其他元素的周期都是無限的。

群公理

在數學中，群是一種代數結構，由一個集合S與一個二元運算·組成，要成為群，還需要滿足一些條件，這些條件被稱為“群公理”，即封閉性、結合律、單位元和逆元。

1．封閉性，即。

2．結合律，即。

3．單位元，即有一個元素(在群G中常用或1表示單位元)。

4．逆元，即，記。

可以定義元素a的冪為：。

值得注意的是，二元運算·僅表示抽象的運算符號，在不同的群中解釋不同。在不引起歧義的情況下經常將符號·省略。