群的生成集合

在抽象代數中，群 G 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積。

更一般的說，如果 S 是群 G 的子集，則 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集；等價的說，<S> 是可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積表達的 G 的所有元素的子群。

如果 G = <S>，則我們稱 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集，則 <S> 是平凡群 {e}，因為我們認為空乘積是單位元。

在 S 中只有一個單一元素 x 的時候，<S> 通常寫為 <x>。在這種情況下，<x> 是 x 的冪的循環子群，我們稱這個循環群是用 x 生成的。與聲稱一個元素 x 生成一個群等價，還可以聲稱它有階 |G|，或者說 <x> 等於整個群 G。

有限生成群

如果 S 是有限的，則群 G = <S> 叫做有限生成群。有限生成阿貝爾群的結構特別容易描述。很多對有限生成群成立的定理對一般的群無效。

所有有限群是有限生成群因為 <G> = G。整數集在加法下的群是由 <1> 和 <-1> 二者有限生成的無限群的例子，但是有理數集在加法下的群不能有限生成。不可數群都不能有限生成。

同一個群的不同子集都可以是生成子集；比如，如果 p 和 q 是 gcd(p, q) = 1 的整數，則 <{p, q}> 還生成整數集在加法下的群(根據貝祖等式)。

儘管有限生成群的所有商群是有限生成群為真(簡單的在商群中選取生成元的像)，有限生成群的子群不必須是有限生成群，例如，設 G 是有兩個生成元 x 和 y的自由群，(它明顯是有限生成群，因為 G = <{x,y}>)，並設 S 是由形如 yxy 的所有 G 的元素構成子集，這裡的 n 是自然數。因為 <S> 明顯同構於有可數個生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿貝爾群的子群完全是有限生成群。更進一步: 所有有限生成群的類在群擴張下閉合。要看出這個結論，選取(有限生成)正規子群和商群的生成集合: 正規子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了這個群。

自由群

由集合 S 生成的最一般的群是 S 自由生成的群。所有 S 生成的群同構於這個群的因子群，這個特徵實用於一個群的展示的表達中。