改進離散餘弦變換

改進離散餘弦變換(Modified Discrete Cosine Transform )，簡稱MDCT，是一種線性正交交疊變換。它使用了一種時域混疊抵消技術(TDAC)，包含50%的時域交疊窗，在不降低編碼性能的情況下有效地克服加窗離散餘弦變換(DCT)塊處理運算中的邊緣效應，從而有效地去除由邊緣效應產生的周期化噪聲，在相同編碼率的情況下，MDCT性能優於DCT，廣泛套用於語音、寬頻音頻和圖像信號的變換編碼中。MDCT本身計算量龐大，對於實時編解碼系統，直接計算複雜度很難接受，其快速算法一類是基於FFT，另一類是基於DCT。

基本介紹

• 中文名：改進離散餘弦變換
• 外文名：Modified Discrete Cosine Transform
• 簡稱：MDCT
• 提出者：Princen J和Bradley A
• 提出時間：1986年
• 快速算法：基於FFT算法、基於DCT算法

概念介紹

改進離散餘弦變換(Modified Discrete Cosine Transform , MDCT )是由離散餘弦變換(Discrete Cosine Transform , DCT)改進而來，Princen J和Bradley A於1986年首次提出雛形，這種線性矩陣變換改善了分塊變換必然存在的邊界噪聲，是時域混疊對消(Time Domain Aliasing Cancellation , TDAC)技術的主要組成部分。MDCT憑藉其在消除邊界噪聲、改善信號質量方面的優越性，作為一種良好的時頻分析工具，廣泛套用於各種寬頻高質量音頻框架中。

MDCT也是編解碼系統中計算複雜度最高的三大模組之一，與一般的DCT相比，MDCT是一種非對稱的變換形式。雖然它只是一種一維的變換，但其N點到N/2點、N/2點到N點的變換形式增加了算法的複雜度。MDCT是感知音頻編解碼標準框架中一個運算量比較大的模組，它的功能在於把編解碼過程中的樣本進行從時域到頻域、從頻域到時域的轉換，以便於編碼壓縮處理或者是可以使信號能夠實時的播放。在整個編解碼系統中，它們都具有很重要的地位，是運算量最複雜的模組之一。

定義

給定一維序列 ，而 表示其變換後得到的頻域序列。對於由M個採樣點構成的每一個塊組，可以只對M個實數值數據進行編碼。因此，仍然只有M個獨立的變換係數需要傳輸，50%重疊變換的編碼性能並未降低。這裡，不考慮窗函式及規一化係數，且N=2M，MDCT及其逆變換(IMDCT)簡化定義為：

特性

MDCT作為DCT的改進，它具有一些與離散餘弦變換不同的性質：

(1) MDCT不屬於正交變換，而由於其非正交特性，提高了變換效率。

(2) 不滿足帕斯瓦爾定理(Parseval’s theorem)，當圖3-2中輸入信號 滿足：

n=0,1,...,N/2-1,。

MDCT得到的頻域係數為零，時間域的能量不等於頻域的能量。

(3)MDCT與其它的正交變換，如DFT、DCT、DST等一樣，具有能量聚集的特點，可以進行頻譜分析。

快速算法

在實際的硬體中，雖然MDCT的餘弦函式值可以通過查表的方式來解決，但是公式內的雙層嵌套循環仍然需要進行大量的計算處理，不適用於實時系統。為解決這個問題，採用了MDCT快速算法。MDCT快速算法的發展過程中，普遍採用了基於N/2點FFT、基於N/4點FFT，以及基於DCT的快速算法。

對於N點MDCT，直接實現時每個頻域值需N次乘法和(N-1)次加法，總直接計算複雜度為 次乘法，[(N-1)×N/2]次加法。隨視窗長度成平方級增加，並且需要龐大的存儲塊來作為查找表。

這三種算法中，基於DCT的運算量與基於FFT的運算量相當，但數據流向不規則，控制較複雜；利用N/2點FFT核計算N點MDCT時只用到了FFT變換結果的實部，造成一定的資源浪費；相對應地，採用N/4點FFT核的快速算法，則同時利用FFT複數結果的實部和虛部，提高了數據計算的效率。因而，對於2的整數次冪長度的MDCT計算普遍採用了基於N/4點的FFT。

直接算法

對於N點MDCT，遞歸實現時每個頻域值需N次乘法和〔N-1)次加法，總直接計算複雜度為 次乘法，[(N-1) xN/2]次加法。隨視窗長度成平方級增加，並且需要龐大的存儲塊來作為查找表，這不適用於實時系統。以MP3 "long“類型視窗為例，即N為36時，輸入44.1khz採樣的5khz和1khz雙弦信號的前36個採樣點為例，如圖1(a)，利用MATILAB可以得到信號經過MDCT及其逆變換後的波形結果；圖1(b)是N為256時的輸入數據、MDCT及其逆變換結果波形，圖中可以明顯看出MDCT數據的低頻聚集特點。但是由於直接計算運算量太大，所以具體實現中很少使用。

圖1(b)

圖1(a)

基於FFT算法

FFT是提出最早，套用最廣泛也是最基本的快速算法。MDCT計算同其他所有DCT變換一樣，因為它們的變換基核餘弦函式cos(x)為指數函式exp(-jx)的實部，經過相應的預處理都可以由標準FFT算法來計算。可以採用N/2點或N/4點FFT核來實現MDCT的快速計算。然而，利用N/2點FFT核計算N點MDCT時只用到了FFT變換結果的實部，造成一定的資源浪費;相對應地，採用N/4點FFT核的快速算法，則同時利用結果的實部和虛部，提高了數據計算的利用率。

令

則對於 ，

因此，輸入序列 ，經過

(1) 複數序列： ，即次複數序列的實部和虛部分別為輸入序列的偶序列和奇序列數據，並且奇序列數據倒序取反。

(2) 預旋轉：

(3) N/4點FFT：

(4) 校正旋轉：

四個步驟後，最後分離實部和虛部，得到N/2點數據。

MDCT分別附加相應的預處理和後處理步驟，從而可以通過N/4點的Modified DFT(步驟2、3、4)實現了N點的MDCT。

基於FFT算法的MDCT快速算法最大的優點就是快速、效率高，基於N/4點FFT可將整個計算過程的僅需實數乘法和實數加法。但這種算法也有自身的局限：

第一，對輸入信號長度有一定的限制，如基2的FFT算法輸入數據長度必須滿足N=，而對於MP3，規定的數據塊長度N為36或12，顯然不是2的整數次冪，因而不能夠為MP3提供有效的算法。

第二，對資源的耗費大。FFT運算的基本單元是蝶形運算單元，1個基2蝶形運算由1個復乘和2個復加組成，而每個復乘法由2次實加法和4次實乘法完成，每個復加法由2次實加法完成，即共4次實乘法與6次實加法。由於採用同址計算，因此每個蝶形單元需要多個乘法器和加法器，若考慮到運算速度採用並列疊代或陣列處理，多個蝶形單元並行運算，資源的耗費則更多。

第三，控制較複雜。如何準確、快速的計算出地址，如何正確存取數據，如何正確控制計算流程，這些都影響著運算的正確運行，由於在FFT運算過程中需要混序或變址，以及大量的RAM、ROM，這些都使得控制較複雜。

基於DCT算法

基於DCT算法相對比於FFT，信號能量更加集中，且只需要實數計算，這些算法都是將輸入數據進行一定的預處理後，用DCT快速算法快速計算，最後再進行後處理，便可算出最終結果。

當M=N/2時，，套用三角函式的和差化積公式可得：

其中，n,k=0,1,...,M-1。

DCT的快速算法分為兩種：間接算法和直接算法。間接算法是利用DCT和DFT、 DHT等正交變換之間的關係，用DFT或DHT快速算法來計算DCT，最初的DCT快速算法基本上都是建立在FFT基礎上的。間接算法過程簡單，主要工作是處理算法間的轉換。直接算法包括DCT變換矩陣分解，遞歸算法兩種技術，不同之處在於矩陣分解是利用稀疏矩陣分解法將變換矩陣分解，而遞歸算法是由較低階DCT矩陣遞歸產生較高階DCT矩陣，可以說遞歸算法是分解算法的逆算法。這裡基於DCT的算法指的是基於DCT的直接算法。