和差化積(和差化積公式)

和差化積

和差化積公式一般指本詞條

和差化積公式:包括正弦餘弦正切餘切的和差化積公式,是三角函式中的一組恆等式,和差化積公式共10組。在套用和差化積時,必須是一次同名(正切和餘切除外)三角函式方可實行。若是異名,必須用誘導公式化為同名;若是高次函式,必須用降冪公式降為一次。

基本介紹

  • 中文名:和差化積公式
  • 外文名:Sum-to-product Identities/ Addition Formulas
  • 適用領域:三角函式
  • 套用學科:數學
  • 所屬分類:數學公式
和差化積公式,公式,推導過程,平方形式的和差化積公式,記憶方法,只記兩個公式甚至一個,結果乘以2,只有同名三角函式能和差化積,乘積項中的角要除以2,使用哪兩種三角函式的積,餘弦·餘弦差公式中的順序相反與負號,記憶口訣,例題,

和差化積公式

公式

三角函式中的一組恆等式

推導過程

對於(1)至(4),可以用積化和差公式推導,也可以由和角公式得到,只需意識到一點:
以下用和角公式證明之,由和角公式有:
兩式相加、減便可得到上面的公式(1)、(2),同理可證明公式(3)、(4)。
對於(5)、(6),有:
對於(7)、(8)、(9)、(10),也可用類似的方法推出。
證畢。

平方形式的和差化積公式

下面不加推導地給出幾個公式。對於正餘弦平方的減法,同樣有和差化積公式

記憶方法

只記兩個公式甚至一個

可以只記上面四個公式的第一個和第三個。
第二個公式中的
,即
,這就可以用第一個公式。
同理,第四個公式中,
,這就可以用第三個公式解決。
如果對誘導公式足夠熟悉,可以在運算時把餘弦全部轉化為正弦,那樣就只記住第一個公式就行了。
用的時候想得起一兩個就行了。

結果乘以2

這一點最簡單的記憶方法是通過三角函式的值域判斷。正弦和餘弦的值域都是[-1,1],其積的值域也應該是[-1,1],而和差的值域卻是[-2,2],因此乘以2是必須的。
也可以通過其證明來記憶,因為展開兩角和差公式後,未抵消的兩項相同而造成有係數2,如:
故最後需要乘以2。

只有同名三角函式能和差化積

無論是正弦函式還是餘弦函式,都只有同名三角函式的和差能夠化為乘積。這一點主要是根據證明記憶,因為如果不是同名三角函式,兩角和差公式展開後乘積項的形式都不同,就不會出現相抵消和相同的項,也就無法化簡下去了。

乘積項中的角要除以2

在和差化積公式的證明中,必須先把α和β表示成兩角和差的形式,才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等於α和β,這兩個角應該是
,也就是乘積項中角的形式。
注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”,但位置不同;而只有和差化積公式中有“乘以2”。

使用哪兩種三角函式的積

這一點較好的記憶方法是拆分成兩點,一是是否同名乘積,二是“半差角”(α-β)/的三角函式名。
是否同名乘積,仍然要根據證明記憶。注意兩角和差公式中,餘弦的展開中含有兩對同名三角函式的乘積,正弦的展開則是兩對異名三角函式的乘積。所以,餘弦的和差化作同名三角函式的乘積;正弦的和差化作異名三角函式的乘積。
的三角函式名規律為:和化為積時,以
的形式出現;反之,以
的形式出現。
由函式的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積,那么α和β調換位置對結果沒有影響,也就是若把
替換為
,結果應當是一樣的,從而
的形式是
;另一種情況可以類似說明。

餘弦·餘弦差公式中的順序相反與負號

這是一個特殊情況,完全可以死記下來。
當然,也有其他方法可以幫助這種情況的判定,如
內餘弦函式的單調性。因為這個區間內餘弦函式是單調減的,所以當α>β時,
小於
。但是這時對應的
在(0,π)的範圍內,其正弦的乘積應大於0,所以要么反過來把
放到
前面,要么就在式子的最前面加上負號。

記憶口訣

(一)
正加正,正在前,
余加余,余並肩。
正減正,余在前,
余減余,負正弦。
(反之亦然)
(二)
帥+帥=帥哥,
帥-帥=哥帥,
哥+哥=哥哥,
哥-哥=負嫂嫂。
(反之亦然)
(三)
口口之和仍口口,
賽賽之和賽口留,
口口之差負賽賽,
賽賽之差口賽收。
(四)
正和正在先,
正差正後遷,
余和一色余,
余差翻了天。
(五)
正弦加正弦,正弦在前面,
正弦減正弦,餘弦在前面,
餘弦加餘弦,餘弦全部見,
餘弦減餘弦,負正弦來見。
(前提是角度
在前,
在後的標準形式)
(六)
和差化積:
同名和差三角積,(
:等式左邊只有同是正弦或同是餘弦才可以相加減。)
左是
,(
:等式左邊是先
右是兩角和與差。(
:等式右邊是
雙正SSC,(
:“正”表示兩個正弦中間的“+”,
雙負SCS,(
:“負”表示兩個正弦中間的“-”,
雙正C對正雙C,(
:“正”表示兩餘弦中間的“+”,
雙負C對負S。(
:“負”表示兩餘弦中間的“-”,
(七)
和差化積二倍半,和前函式名不變;餘弦穩正弦跳,餘弦相減取負號。

例題

已知
,且
,求
的值
解:將已知條件編號
①的平方+②的平方,得:
所以:
則:
計算可得:
①×②,得
所以
運用和差化積公式:
上式可變為:
所以
代入,

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