基本介紹
- 中文名：擴展歐幾里得算法
- 外文名：extended Euclidean algorithm
- 表達式：a*x+b*y=gcd(a,b)
- 套用學科：數學，信息學
- 適用領域範圍：數論，密碼學
歐幾里德算法,概述,公式表述,C++語言實現,pascal語言實現,擴展算法,c++語言實現,pascal語言實現,
歐幾里德算法
概述
gcd函式就是用來求(a,b)的最大公約數的。
gcd函式的基本性質：
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
公式表述
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
C++語言實現
int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a;}pascal語言實現
function gcd(a,b:longint):longint;begin if b=0 then exit(a); gcd:=gcd(b,a mod b);end;
擴展算法
對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然
存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
c++語言實現
int gcd(int a,int b,int &x,int &y){ if (b==0){ x=1,y=0; return a; } int q=gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return q;}pascal語言實現
function gcd(a,b:longint; var x,y:longint):longint;var t:longint;begin if b=0 then begin x:=1; y:=0; exit(a); end; gcd:=gcd(b,a mod b,y,x); y:=y-(a div b)*x;end;
求解 x，y的方法的理解
設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，a>b>0 時
設 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
則:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
說明： a-[a/b]*b即為mod運算。[a/b]代表取小於a/b的最大整數。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。
擴展歐幾里德算法
擴展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根據數論中的相關定理)。擴展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。下面是一個使用C++的實現：
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0) { x=1;y=0; return a; } int r=exGcd(b,a%b,x,y); int t=x;x=y;y=t-a/b*y; return r;}把這個實現和Gcd的遞歸實現相比，發現多了下面的x,y賦值過程，這就是擴展歐幾里德算法的精髓。
可以這樣思考:
對於a'=b,b'=a%b 而言，我們求得 x, y使得 a'x+b'y=Gcd(a',b')
那么可以得到:
a'x+b'y=Gcd(a',b') ===>
bx+(a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此對於a和b而言，他們的相對應的p，q分別是 y和(x-a/b*y)
使用擴展歐幾里德算法解決不定方程的辦法
對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
有種較為不嚴謹的方法證明，不過至少彌補了一點空白，望某些數論大師補充修改：
由於我們知道，存在一組x與y使得a*x+b*y=gcd(a,b)。
將等式兩邊同時乘以整數k，即a*x*k+b*y*k=gcd(a,b)*k。如果c mod gcd(a,b)=f，則0<=f<gcd(a,b)。
那么可以令c=gcd(a,b)*k+f。這樣一來，就有a*x*k+b*y*k+f=c。
若f
0，由於f<gcd(a,b)<=a<=b（假設a<=b），所以不存在f=a*m（m為整數），也就不存在a*(x*k+m)+b*y*k=c。也就是說，不存在a*x+b*y=c的整數解x與y。
所以f=0，即只有當c mod gcd(a,b)=0時，a*x+b*y=c有正整數解。得證。
上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0後，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整數解滿足：
p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t為任意整數)
至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(a, b)的每個解乘上 c/Gcd(a, b) 即可，但是所得解並不是該方程的所有解，找其所有解的方法如下：
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0後，可以
得到p * a+q * b = c的一組解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整數解滿足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t為任意整數)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整數解。
編程時 exgcd 更多用於求解“中國剩餘定理”相關知識 舉個例子比如n除以5餘2 除以13餘3 那么n最小是多少，所有的n滿足什麼條件？
n（min)=42
n=42+k*65
歐幾里德算法的擴展
int gcd(int a,int b,int &ar,int &br){ int x1,x2,x3; int y1,y2,y3; int t1,t2,t3; if(0==a)//有一個數為0,就不存在乘法逆元 { ar=0;br=0; return b; } if(0==b) { ar=0;br=0; return a; } x1=1;x2=0;x3=a; y1=0;y2=1;y3=b; int nk; for(t3=x3%y3;t3!=0;t3=x3%y3) { k=x3/y3; t2=x2-k*y2;t1=x1-k*y1; x1=y1;x2=y2;x3=y3; y1=t1;y2=t2;y3=t3; } if(y3==1)//有乘法逆元 { ar=(y2+b)%b;//對求出來負的乘法逆元進行處理，使之在模b的完全剩餘集裡 br=(y1+a)%a;//原來這裡是錯的 return 1; } else//公約數不為1,無乘法逆元 { ar=0; br=0; return y3; }}首先重複操作整除中的一個論斷：
如果gcd(a，b)=d，則存在m，n，使得d = ma + nb，稱呼這種關係為a、b組合整數d，m，n稱為組合係數。當d=1時，有 ma + nb = 1 ，此時可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。
為了證明上面的結論，我們把上述計算中xi、yi看成ti的疊代初始值，考察一組數(t1，t2，t3)，用歸納法證明：當通過擴展歐幾里德算法計算後，每一行都滿足a×t1 + b×t2 = t3
第一行：1 × a + 0 × b = a成立
第二行：0 × a + 1 × b = b成立
假設前k行都成立，考察第k+1行
對於k-1行和k行有
t1(k-1) t2(k-1) t3(k-1)
t1(k) t2(k) t3(k)
分別滿足：
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
t1(k) × a + t2(k) × b = t3(k)
根據擴展歐幾里德算法，假設t3(k-1) = j t3(k) + r
則：
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
則
t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)
得證
