若實值集函式的值可允許取+∞或-∞，則稱此集函式為擴充實值集函式。
基本介紹
- 中文名：擴充實值集函式
- 外文名：extend real-valued set function
- 適用範圍：數理科學
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簡介
集函式
集函式是測度論中定義的概念，是以集類為定義域的函式。
設𝒞是Ω上的一個集類，K是實數域或複數域，稱映射μ:𝒞→K為定義在𝒞上的集函式。重要的（數值）集函式有測度、集上的積分等。
定義
若實值集函式的值可允許取+∞或-∞，則稱此集函式為擴充實值集函式。
性質
關於集函式，也可引入單調性、收斂性等概念。
例如，設μ是定義在集類𝒞上的實值集函式，如果對任意A,B∈𝒞，A⊂B，均有μ(A)≤μ(B)，則說μ在𝒞上是單調增加的。
設{μn}是集類𝒞上的集函式列，若對於每個A∈𝒞，數列{μn(A)}收斂，則說{μn}在𝒞上收斂。若對於每個A∈𝒞，有
，則稱{μn}在𝒞上收斂於μ。
若對任意ε>0，存在正整數N，當n>N時，對一切A∈𝒞，都有
則稱{μn}在𝒞上一致收斂於μ。
向量值集函式
當K是向量空間或運算元集時，分別稱映射μ:𝒞→K為𝒞上的向量值集函式或運算元集函式。
常見的這種集函式有向量值測度、譜測度和譜積分等。
