拉普拉斯－德拉姆運算元

我們可以在微分流形的外代數上定義一個拉普拉斯微分運算元。在黎曼流形上它是一個橢圓型運算元，而在洛倫茲流形上是雙曲型的。

基本介紹

• 中文名：拉普拉斯－德拉姆運算元
• 分類：數理科學

定義

拉普拉斯–德拉姆運算元（Laplace-de Rham operator）定義為

這裡 d 是外導數而 δ 是余微分。當作用在數量函式上，余微分可以定義為 δ = −，這裡 是霍奇星運算元；更一般地，余微分可能包含與所作用的k-形式的階數有關的一個符號。

可以證明拉普拉斯–德拉姆運算元作用在數量函式f上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米運算元定義相同；細節參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆運算元事實上是負拉普拉斯–貝爾特拉米運算元；這個符號來自定義余微分的習慣。不幸的是，兩者都用 Δ 表示，經常成為混亂之源。

性質

給定數量函式f與h，以及一個實數a，拉普拉斯–德拉姆運算元有如下性質：