扭曲幾何

數學與物理學中,特別是在微分幾何與廣義相對論中,扭曲幾何(warped geometry)是度規張量。

基本介紹

  • 中文名:扭曲幾何
  • 外文名:warped geometry
  • 分類:數理科學
簡介,例子,相關內容,

簡介

扭曲幾何寫成如下形式的黎曼流形洛倫茲流形
注意到幾何可以分解成y幾何與x幾何的卡氏積(Cartesian product),不過x部分受到扭曲,亦即它的大小尺度受到了一個y坐標的標量函式{\displaystyle f(y)}的調整。基於此理由,扭曲幾何的度規常稱為“扭曲積度規”(warped product metric)。
扭曲幾何很有用處,以其可以運用分離變數法來解與它們有關的偏微分方程。

例子

許多愛因斯坦場方程的基本解是為扭曲幾何,比如史瓦西解以及羅伯遜-沃爾克模型。
此外,扭曲幾何是弦論中藍道爾-桑壯模型(Randall-Sundrum models)的基石。

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度量張量
黎曼幾何裡面,度量張量(英語:Metric tensor)又叫黎曼度量,物理學譯為度規張量,是指一用來衡量度量空間中距離,面積及角度的二階張量。
當選定一個局部坐標系統
,度量張量為二階張量一般表示為
,也可以用矩陣
表示,記作為G或g。而
記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為“矩陣元素”)。
的弧線長度定義如下,其中參數定為t,t由a到b:
兩個切矢量的夾角
,設矢量
,定義為:
的局部微分同胚,其誘導出的度量張量的矩陣形式
,由以下方程計算得出:
j表示
的雅可比矩陣,它的轉置為
。著名例子有
之間從極坐標
到直角坐標
的坐標變換,在這例子裡有:
這映射的雅可比矩陣為
所以
這跟微積分里極坐標的黎曼度量,
,一致。

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