《三維可壓和不可壓旋轉Navier-Stokes方程的維數分裂方法》是依託西安交通大學，由李開泰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三維可壓和不可壓旋轉Navier-Stokes方程的維數分裂方法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李開泰
- 依託單位：西安交通大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
很多流動帶有複雜邊界，如葉輪機流道內部三維粘性流動和飛機繞流等，由於它的邊界是三維歐氏空間中複雜的二維流形，邊界扭曲的幾何是達到工程目標的主要依據。它的複雜性給計算帶來巨大困難，直接影響計算精度、計算時間和穩定性。我們提出的方法是用葉片面二維流形，把流動區域切割成m個流層，在每個流層內建立局部的半側地坐標系，並將N-S運算元在此坐標下分裂為膜運算元和彎曲運算元，將彎曲運算元作歐拉中心差分近似，得到二維流形上的2D-3C N-S方程。在每個流層內只要解二維流形上的N-S方程，然後直接構造三維近似解。這個方法與經典的區域分解法不同，因它僅在每個子區域解二維流形上的N-S方程，而不需解三維問題。這個創新的算法，把幾何分析、流動特性和計算 有機結合在一起，同時也提出了一些數學問題，有待從PDE和數值分析兩個方面去進一步探索。
結題摘要
本項目針對複雜幾何邊界的三維可壓和不可壓旋轉Navier-Stokes方程的數值計算問題，提出了一種融合幾何分析、流體力學和PDE數值分析的創新算法——維數分裂方法。它充分運用微分幾何和張量分析工具，用區域邊界二維流形將三維流動區域切割成一系列流層，然後建立各個二維流形上的2D-3C的Navier-Stokes方程。這個方法與經典的區域分解法相近但是又不同，因它僅在每個子區域解二維流形上的NS方程，而不需解三維問題，而且每個子區域問題可以並行計算。我們在上述創新的數學模型和新的數值方法方面，已經取得了很好的成果，具體包括：(1) 研究葉輪通道內粘性不可壓縮流動問題的維數分裂法和有限元逼近，接著建立二維流形上的Korn不等式，使用Galerkin方法證明了2D-3C的Navier-Stokes方程加罰形式的解的存在性，通過先驗估計證明了解的唯一性，並給出了加罰問題的逼近性質。基於近似慣性流形，給出了加罰問題的兩重格線有限元逼近，改進了誤差估計。(2) 通過引入一個新的整體曲線坐標系研究透平機械內部可壓縮旋轉Navier-Stokes方程的維數分裂方法和二度並行算法。(3)針對具有Dirichlet邊界條件的Navier-Stokes方程，給出一種運算元分裂格式。格式將原來不可壓和非線性相耦合的問題分解為兩類簡單的子問題，證明了離散格式的穩定性和解的存在唯一性，並通過數值算例檢驗了分裂格式的穩定性。(4) 針對低階有限元對不滿足LBB條件，以及非線性項容易引發數值震盪等缺陷，提出了求解非定常Navier-Stokes方程的特徵線穩定化有限元格式，證明了解的存在唯一性並給出了誤差估計。(5) 研究建立在變分形式和Taylor級數上的維數分裂方法，並且套用此維數分裂方法建立一個新的邊界層方程和新算法，它也是一個二維流形上的Navier-Stokes 方程。與外部流動方程偶合求解，不但可以得到邊界層內流場分布，而且可得到法向速度梯度和邊界上的法向應力，為外形最佳化提供高精度的可靠結果。發表SCI文章17篇，國務院學位辦規定五種數學期刊4篇，參加國際會議邀請報告4次。
