基本介紹
定理陳述,英文陳述,定理證明,必要性,充分性,推論,影響及意義,
定理陳述
對一個圖
，若至少存在3個點，則是2連通的若且唯若對中任意兩個點
，中一定存在至少2條連線的內部不相交路徑。
英文陳述
A graph having at least 3 vertices is 2-connected 
for each pair 
, there exist internally disjoint -paths in .
定理證明
必要性
因為任意兩點之間均存在路徑，於是是連通的。
進一步，對於任意兩點之間有至少存在兩條內部不相交路徑，所以考慮刪中任意一點，其均不會造成不連通。於是是2連通的。
充分性
- 對於，此時是的一條邊。而由於，根據惠特尼不等式，，於是。那么至少需要刪兩條邊才會導致不連通，於是刪一條邊之後仍然還是連通的。則考慮，其仍然是連通圖，於是對於，仍然存在一條路徑連線。於是中至少存在兩條連線的內部不相交路徑。
- 假設對於，中都存在至少兩條連線的內部不相交路徑，則考慮;
- 由於之間距離為，則中一定存在一條連線的路徑，且的長度（其包含的邊的數量）為，如圖(1)。此時考慮中的鄰居，一定滿足。這是因為對於在中已經有到長度為的路徑，而如果還存在其他路徑長度小於，那么也存在到的路徑長度小於，與矛盾。於是對於，根據歸納假設，存在至少2條連線的內部不相交路徑。於是構成了一個環，如圖(2)。
- 如果，即已經在這個環上，如圖(3)，則對於與這兩個環上的點，它們之間也存在環上兩條相反的繞行方向的路徑，於是與存在兩條內部不相交的路徑。
- 如果，那么由於是2連通的，則考慮，其仍然是連通的。那么對於，此時存在另一條連線的路徑。此時，如果與以及除了之外沒有其他交點，如圖(4)，則顯然與就構成了連線的兩條內部不相交路徑；否則，令為與相交的最後一個交點，根據的對稱性，不妨假設就在上，如圖(5)。那么考慮和，這兩條路徑則構成了連線的內部不相交路徑。
充分性的歸納證明
於是無論如何，當
時，均能至少找到連線的兩條內部不相交路徑。
於是根據數學歸納法，當是2連通圖時，對於任意兩點，能找到至少兩條連線的內部不相交路徑。
推論
根據惠特尼定理的結論，可以得到關於2連通圖的等價描述的推論：
推論證明
- 描述1描述2：直接運用惠特尼定理即可。
- 描述2描述3：關係是顯然的。若這兩點之間存在至少兩條連線它們的內部不相交路徑，則這兩條內部不相交路徑的並形成了環且這兩點在環上；若存在這兩點同時位於環上，則這兩點之間在環上的不同繞行方向的路徑形成了連線它們的兩條內部不相交路徑。
- 描述4描述3：對任意的兩點，由於，則均存在鄰居，。對於，
- 若即兩條邊完全分離，則由於任意兩條邊均位於一個環上，於是位於同一個環上，於是也位於該環上。
- 若即兩條邊有一個公共點，此時仍然是兩條不同的邊，則同樣由於任意兩條邊均位於一個環上，於是位於同一個環上，於是也位於該環上。
- 若即實際上只是一條邊，此時與其他任意一條邊仍然位於同一個環上，所以仍然位於環上。
描述123
描述4：首先根據描述1，圖是連通的，所以
。其次，對於圖中的任意兩條邊
，下面證明它們位於同一個環上。
令
。首先
仍然是2連通的，這是因為，的構造過程是加入兩個點且兩個點均與原圖中兩個點相連，則考慮中的割集
。若割集中含有新加入的點
，則除去新加入的點，
是原圖的割集，而根據描述1，本是2連通的，則
或
；若割集中不含有新加入的點，如果割集取自
，則
，否則實際上是原圖的割集，所以同樣，。所以無論如何，對於的任意割集，其大小至少為2，故仍然是2連通的。實際上，關於向
-連通圖加入輔助點的更一般的結論稱為拓展引理 (Expansion Lemma)，它也在證明門傑定理 (Menger's theorem) 中發揮了作用。
向G中加入兩個輔助點
那么根據描述3，對於，一定存在環
，
均位於上。而的度均為2，所以
也位於上，且的其他邊均來自於原圖。於是可以將
替換成
，
替換成
，從而均位於原圖中的一個環上。
影響及意義
惠特尼定理提供了對於2連通性的更具體的性質刻畫，從而提供了另一種對於2連通性具體的證明方向。
