基本介紹
- 中文名：快速傅立葉變換
- 外文名：fastFourier transform
- 別稱：FFT
- 提出者：J.W.庫利和J.W.圖基
- 提出時間：1965年
- 套用學科：計算算法
- 適用領域範圍：數位訊號處理
- 適用領域範圍：有限長序列
- 特點：快速變換
簡要介紹,基本思想,算法類型,計算方法,套用,參考書目,
簡要介紹
快速傅立葉變換快速傅氏變換（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論並沒有新的發現，但是對於在計算機系統或者說數字系統中套用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。
設x(n）為N項的複數序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次複數乘法和N-1次複數加法，而一次複數乘法等於四次實數乘法和兩次實數加法，一次複數加法等於兩次實數加法，即使把一次複數乘法和一次複數加法定義成一次“運算”（四次實數乘法和四次實數加法），那么求出N項複數序列的X（m），即N點DFT變換大約就需要N^2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N2=1048576次運算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列（設N=2k,k為正整數），分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要（N/2）^2次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以後，總的運算次數就變成N+2*(N/2）^2=N+N^2/2。繼續上面的例子，N=1024時，總的運算次數就變成了525312次，節省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去，直到分成兩兩一組的DFT運算單元，那么N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運算，N在1024點時，運算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點數越多，運算量的節約就越大，這就是FFT的優越性。
快速傅立葉變換
快速傅立葉變換
快速傅立葉變換快速傅立葉變換基本思想
FFT的基本思想是把原始的N點序列，依次分解成一系列的短序列。充分利用DFT計算式中指數因子 所具有的對稱性質和周期性質，進而求出這些短序列相應的DFT並進行適當組合，達到刪除重複計算，減少乘法運算和簡化結構的目的。此後，在這思想基礎上又開發了高基和分裂基等快速算法，隨著數位技術的高速發展，1976年出現建立在數論和多項式理論基礎上的維諾格勒傅立葉變換算法(WFTA）和素因子傅立葉變換算法。它們的共同特點是，當N是素數時，可以將DFT算轉化為求循環卷積，從而更進一步減少乘法次數，提高速度。
算法類型
FFT算法很多，根據實現運算過程是否有指數因子WN可分為有、無指數因子的兩類算法。
有指數因子的算法
經典庫利-圖基算法 當輸入序列的長度N不是素數(素數只能被1而它本身整除）而是可以高度分解的複合數，即N=N1N2N3…Nr時，若N1=N2=…=Nr=2，N=2則N點DFT的計算可分解為N=2×N/2，即兩個N/2點DFT計算的組合，而N/2點DFT的計算又可分解為N/2=2×N/4，即兩個N/4點DFT計算的組合。依此類推，使DFT的計算形成有規則的模式，故稱之為以2為基底的FFT算法。同理，當N=4時，則稱之為以4為基底的FFT算法。當N=N1·N2時，稱為以N1和N2為基底的混合基算法。
在這些算法中，基2算法用得最普遍。通常按序列在時域或在頻域分解過程的不同，又可分為兩種：一種是時間抽取FFT算法（DIT），將N點DFT輸入序列x(n)、在時域分解成2個N/2點序列而x1(n)和x2(n)。前者是從原序列中按偶數序號抽取而成，而後者則按奇數序號抽取而成。DIT就是這樣有規律地按奇、偶次序逐次進行分解所構成的一種快速算法。
分裂基算法(RSFFT) 1984年由P．杜哈美爾和H．赫爾曼等導出的一種比庫利圖基算法更加有效的改進算法，其基本思想是在變換式的偶部採用基2算法，在變換式的奇部採用基4算法。優點是具有相對簡單的結構，非常適用於實對稱數據，對長度N=2能獲得最少的運算量(乘法和加法），所以是選用固定基算法中的一種最佳折衷算法。
計算方法
計算離散傅立葉變換的快速方法，有按時間抽取的FFT算法和按頻率抽取的FFT算法。前者是將時域信號序列按偶奇分排，後者是將頻域信號序列按偶奇分排。它們都藉助於的兩個特點：一是周期性；二是對稱性，這裡符號*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅立葉變換的計算分成若干步進行，計算效率大為提高。
時間抽取算法 令信號序列的長度為N=2,其中M是正整數，可以將時域信號序列x(n)分解成兩部分，一是偶數部分x（2n），另一是奇數部分x（2n+1），於是信號序列x(n）的離散傅立葉變換可以用兩個N/2抽樣點的離散傅立葉變換來表示和計算。考慮到和離散傅立葉變換的周期性，式⑴可以寫成
⑶其中（4a）（4b）由此可見，式⑷是兩個只含有N/2個點的離散傅立葉變換，G(k）僅包括原信號序列中的偶數點序列，H(k）則僅包括它的奇數點序列。雖然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它們的數值以N/2周期重複。
因為於是由式⑶和式⑷得到（5a）（5b)
因此，一個抽樣點數為N 的信號序列x(n）的離散傅立葉變換，可以由兩個 N/2抽樣點序列的離散傅立葉變換求出。依此類推，這種按時間抽取算法是將輸入信號序列分成越來越小的子序列進行離散傅立葉變換計算，最後合成為N點的離散傅立葉變換。
② FFT算法按級疊代進行，計算公式可以寫成
⑹N抽樣點的輸入信號具有N個原始數據x0(n），經第一級運算後，得出新的N個數據x1(n），再經過第二級疊代運算，又得到另外N個數據x2(n），依此類推，直至最後的結果x(k)=xM(k)=X(k）在逐級疊代計算中，每個蝶形運算的輸出數據存放在原來存貯輸入數據的單元中，實行所謂“即位計算”，這樣可以節省大量存放中間數據的暫存器。
③ 蝶形運算中加權係數隨疊代級數成倍增加。由圖2可以看出係數的變化規律。對於N=8,M=3情況，需進行三級疊代運算。在第一級疊代中，只用到一種加權係數；蝶形運算的跨度間隔等於1。在第二級疊代中，用到兩種加權係數即、；蝶形運算的跨度間隔等於2。在第三級疊代中，用到4種不同的加權係數即、、、；蝶形運算的跨度間隔等於4。可見，每級疊代的不同加權係數的數目比前一級疊代增加一倍；跨度間隔也增大一倍。
④ 輸入數據序列x(n）需重新排列為x(0）、x⑷、x⑵、x⑹、x⑴、x⑸、x⑶、x⑺，這是按照二進制數的碼位倒置所得到的反序數，例如N=8中數“1”的二進制數為“001”，將其碼位倒轉變為“100”，即為十進制數“4”。
頻率抽取算法 按頻率抽取的 FFT算法是將頻域信號序列X(k）分解為奇偶兩部分，但算法仍是由時域信號序列開始逐級運算，同樣是把N點分成N/2點計算FFT，可以把直接計算離散傅立葉變換所需的N次乘法縮減到次。
在N=2的情況下，把N點輸入序列x(n）分成前後兩半
⑺
時間序列x1(n）±x2(n）的長度為N/2，於是N點的離散傅立葉變換可以寫成
（8a)
（8b)
頻率信號序列X（2l）是時間信號序列x1(n)+x2(n）的N/2點離散傅立葉變換，頻率信號序列X（2l+1）是時間信號序列【x1(n)-x2(n）】的N/2點離散傅立葉變換，因此，N點離散傅立葉變換的計算，通過兩次加（減）法和一次乘法，從原來序列獲得兩個子序列，所以，頻率抽取算法也具有蝶形運算形式。以2為基數的FFT基本蝶形運算公式為
⑼
其計算量完全和時間抽取算法一樣，即只需次乘法運算和Nlog2N次加（減）法運算。圖3 表示N=8=2點的離散傅立葉變換的信號流圖。由圖可見，它以三級疊代進行即位計算，輸入數據是按自然次序存放，使用的係數也是按自然次序，而最後結果則以二進制反序存放。
除了基2的FFT算法之外，還有基4、基8等高基數的FFT算法以及任意數為基數的FFT算法。
套用
計算量小的顯著的優點，使得FFT在信號處理技術領域獲得了廣泛套用，結合高速硬體就能實現對信號的實時處理。例如，對語音信號的分析和合成，對通信系統中實現全數位化的時分制與頻分制(TDM/FDM)的復用轉換，在頻域對信號濾波以及相關分析，通過對雷達、聲納、振動信號的頻譜分析以提高對目標的搜尋和跟蹤的解析度等等，都要用到FFT。可以說FFT的出現，對數位訊號處理學科的發展起了重要的作用。
參考書目
何振亞著：《數位訊號處理的理論與套用》下冊，人民郵電出版社，北京，1983。
程乾生著：《數位訊號處理》，北京大學出版社，北京，2003。
E.O.布里漢著，柳群譯：《快速傅立葉變換》，上海科學技術出版社，1979。（E. O. Brigham,TheFast Fourier Transform,Prentice Hall,Englewood Cliffs,New Jersey,1974.）v
